Interested Article - Задача Бюффона о бросании иглы

Задача Бюффона о бросании иглы — один из первых примеров применения метода Монте-Карло и рассмотрения понятия . Задача была сформулирована Бюффоном в 1777 году . Оказалось, что эта задача сделала возможным определение числа π вероятностными методами.

Суть задачи

Суть метода была в бросании иглы длиной $L$ $L$ на плоскость, расчерченную параллельными прямыми, расположенными на расстоянии $r$ $r$ друг от друга (см. Рис. 1).

Вероятность (как видно из дальнейшего контекста, речь идёт не о вероятности, а о математическом ожидании количества пересечений за один опыт; вероятностью это становится лишь при условии, что $r>L$ $r>L$ ) того, что отрезок пересечет прямую, связана с числом Пи:

$p=\int \limits _{0}^{\pi }\int \limits _{0}^{l\sin {\theta }}{\frac {1}{r\pi }}dAd\theta$ $p=\int \limits _{{0}}^{{\pi }}\int \limits _{{0}}^{{l\sin {\theta }}}{\frac {1}{r\pi }}dAd\theta$ , где

$A$ $A$ — расстояние от начала иглы до ближайшей к ней прямой;
$\theta$ $\theta$ — угол иглы относительно прямых.

При условии, что $r>L$ $r>L$ получается решение: $p={\frac {2L}{r\pi \,}}$ $p={\frac {2L}{r\pi \,}}$ . Таким образом, подсчитав долю отрезков, пересекающих прямые, можно приближенно определить число Пи. При увеличении количества попыток точность получаемого результата будет увеличиваться.

В 1864 году капитан Фокс, выздоравливая после ранения, чтобы как-то занять себя, реализовал эксперимент по бросанию иглы . Результаты представлены в следующей таблице:

	Число бросаний	Число пересечений	Длина иглы	Расстояние между прямыми	Вращение	Значение Пи	Ошибка
Первая попытка	500	236	3	4	отсутствует	3.1780	−0.03640734
Вторая попытка	530	253	3	4	присутствует	3.1423	−0.00070734
Третья попытка	590	939	5	2	присутствует	3.1416	+0.00000734

Комментарии:

Вращение плоскости применялось (и как показывают результаты — успешно) для того, чтобы уменьшить систематическую ошибку .
В третьей попытке длина иглы была больше расстояния между линиями, что позволило не увеличивая числа бросаний эффективно увеличить число событий и повысить точность.

Вариации и обобщения

Задача о макаронине Бюффона — вариант задачи для кривых.

Формула Крофтона

Примечания

от 30 января 2012 на Wayback Machine (англ.)
↑ A.Hall. : [ 7 марта 2016 ] // The Messenger of Mathematics. — 1872. — Vol. 2. — P. 113-114.
Ramaley, J. F. (1969). (PDF) . The American Mathematical Monthly . Mathematical Association of America. 76 (8, October 1969): 916—918. DOI : . ISSN . JSTOR . Архивировано из (PDF) 2020-01-14 . Дата обращения 2020-11-23 . Используется устаревший параметр |deadlink= ( справка )