Лэ́мбовский сдвиг — различие между энергиями стационарных состояний ${\displaystyle ^{2}S_{1/2}}$ и ${\displaystyle ^{2}P_{1/2}}$ атома водорода и водородоподобных ионов, обусловленное взаимодействием атома с нулевыми флуктуациями электромагнитного поля. Экспериментальное изучение смещения уровней атома водорода и водородоподобных ионов представляет фундаментальный интерес для проверки теоретических основ квантовой электродинамики .

История открытия

Экспериментально установлен У. Ю. Лэмбом ( англ. Willis Lamb) и Р. Ризерфордом в 1947 году . В том же году теоретически объяснён Хансом Бете .

В 1955 году за свою работу Уиллис Юджин Лэмб был удостоен Нобелевской премии .

В 1938 году расчёты, по существу предсказывающие лэмбовский сдвиг, провёл Д. И. Блохинцев , но его работа была отклонена редакцией журнала ЖЭТФ и была опубликована лишь в 1958 году в трудах Д. И. Блохинцева .

Суть эффекта

Сдвиг уровней — это небольшое отклонение тонкой структуры уровней энергии водородоподобных атомов от предсказаний релятивистской квантовой механики, основанных на уравнении Дирака .

Однако Лэмб и Ризерфорд методом радиоспектроскопии обнаружили расщепление уровней ² S _1/2 ( n = 2, l = 0, j = 1/2) и ² Р _1/2 ( n = 2, l = 1, j = 1/2) в атоме водорода, которые по расчётам Дирака должны были совпадать. Величина сдвига пропорциональна ${\displaystyle \alpha ^{3}R}$ , где ${\displaystyle \alpha }$ — постоянная тонкой структуры , ${\displaystyle R}$ — постоянная Ридберга .

Определённый вклад вносят также эффекты движения и внутренней структуры ядра.

Научно-популярное объяснение

Результатом взаимодействия атома с нулевыми колебаниями электромагнитного поля (вакуумные флуктуации поля) являются дополнительные «колебания» электрона, что проявляется в смещении уровня энергии электрона. Это явление называется лэмбовским сдвигом . Другими словами, сдвиг энергии обусловливается нулевыми флуктуациями, т. е. не равными нулю среднеквадратичными значениями напряжённостей электрического ( E ) и магнитного ( B ) полей, под действием которых электрический заряд оказывается эффективно как бы размазанным. Это уменьшает действие кулоновского потенциала и повышает уровень энергии s -состояний .

Эффекты, связанные с поляризацией вакуума, т. е. с рождением электрон-позитронных пар, дают относительно малый вклад в лэмбовский сдвиг .

Эксперимент

В 1947 Уиллис Лэмб и Роберт Ризерфорд провели эксперимент с использованием микроволнового излучения для стимулирования радиочастотных переходов между квантовыми уровнями атома водорода ${\displaystyle ^{2}S_{1/2}}$ и ${\displaystyle ^{2}P_{1/2}}$ . Разница в энергии, найденная Лэмбом и Ризерфордом для перехода между ${\displaystyle ^{2}S_{1/2}}$ и ${\displaystyle ^{2}P_{1/2},}$ составила ~1060 МГц.

Эта разность является эффектом квантовой электродинамики и может интерпретироваться как влияние виртуальных фотонов , которые испустились и были повторно перепоглощены атомом. В квантовой электродинамике электромагнитное поле квантуется так же, как и гармонический осциллятор в квантовой механике . Основное состояние поля имеет энергию ${\displaystyle \hbar \omega /2}$ , отличную от нуля (см. Состояния Фока ), то есть нулевые колебания поля увеличивают энергию электрона . Радиус орбиты электрона заменяется на величину ${\displaystyle (r+\delta r)}$ , что изменяет силу кулоновской связи электрона с ядром, поэтому вырождение уровней ${\displaystyle ^{2}S_{1/2}}$ и ${\displaystyle ^{2}P_{1/2}}$ состояний снимается. Новую энергию уровней можно записать как (используются атомные единицы )

${\displaystyle \langle E_{\text{pot}}\rangle =-{\frac {Ze^{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}\left\langle {\frac {1}{r+\delta r}}\right\rangle .}$

Сам лэмбовский сдвиг при ${\displaystyle l=0}$ :

${\displaystyle \Delta E_{\text{Lamb}}=\alpha ^{5}m_{e}c^{2}{\frac {k(n,0)}{4n^{3}}},}$

и при ${\displaystyle l\neq 0}$ , ${\displaystyle j=l\pm 1/2}$ :

${\displaystyle \Delta E_{\text{Lamb}}=\alpha ^{5}m_{e}c^{2}{\frac {1}{4n^{3}}}\left[k(n,l)\pm {\frac {1}{\pi (j+{\frac {1}{2}})(l+{\frac {1}{2}})}}\right],}$

где ${\displaystyle k(n,l)}$ — малая величина (< 0,05) .

Значение величины

В работе 1983 года измерение лэмбовского сдвига было выполнено при помощи двойного атомного интерферометра . Было получено значение 1057,8514(19) МГц .

Ещё более сильное, чем в атоме водорода, электромагнитное взаимодействие происходит между электронами и ядрами тяжёлых атомов. Исследователи из лаборатории GSI ( Дармштадт , Германия) пропускали пучок атомов урана ( зарядовое число 92) через фольгу, в результате чего атомы теряли все, кроме одного, из своих электронов, превращаясь в ионы с зарядом +91. Электрическое поле между ядром такого иона и оставшимся электроном достигало величины 10 ¹⁶ В/см. Измеренный лэмбовский сдвиг в ионе составил 468 ± 13 эВ — в согласии с предсказаниями квантовой электродинамики .

Лэмб экспериментально получил значение магнитного момента электрона , которое отличается в 1,001159652200 раза от значения магнетона Бора , предсказанного Дираком. Когда была создана теория перенормировок , лэмбовский сдвиг оказался первым физическим эффектом, на котором подтвердилась её правильность (и, соответственно, правильность квантовой электродинамики , построенной с использованием этой перенормировки). Вычисленное новое теоретическое значение оказалось равно 1,001159652415 магнетона Бора, что поразительно точно совпадает с экспериментом.

По данным на 1996 год, вклад собственной энергии во втором порядке по константе связи (порядок величины ${\displaystyle m\alpha (\alpha Z)^{4}}$ ) составляет 1077,640 МГц , поляризация вакуума во втором порядке по константе связи (порядок величины ${\displaystyle m\alpha (\alpha Z)^{4}}$ ) составляет −27,084 МГц , релятивистские поправки (порядок величины ${\displaystyle m\alpha (\alpha Z)^{5}}$ ) составляют 7,140 МГц , релятивистские поправки (порядок величины ${\displaystyle m\alpha (\alpha Z)^{6}}$ ) равны −0,372 МГц , вклад собственной энергии в четвёртом порядке по константе связи (порядок величины ${\displaystyle m\alpha ^{2}(\alpha Z)^{4}}$ ) составляет 0,342 МГц , поляризация вакуума в четвёртом порядке по константе связи (порядок величины ${\displaystyle m\alpha ^{2}(\alpha Z)^{4}}$ ) равна −0,239 МГц , поправка на отдачу равна 0,359 МГц , поправка на конечный размер протона составляет 0,125 МГц .

Полуклассическая оценка

Оценим величину лэмбовского сдвига, исходя из классического уравнения движения электрона под воздействием нулевых колебаний электромагнитного поля в вакууме :

${\displaystyle m\delta {\ddot {r}}=eE,}$

(1)

где ${\displaystyle \delta r}$ — отклонение электрона от орбиты, ${\displaystyle E}$ — напряжённость электрического поля нулевых колебаний электромагнитного поля в вакууме.

Разложим напряжённость электрического поля по плоским волнам :

${\displaystyle E=\sum _{k}E_{k}\cos \omega _{k}t,}$

(2)

где ${\displaystyle \omega _{k}=kc.}$

Интегрируя уравнения движения (1), получаем ${\displaystyle \delta r=-{\frac {e}{m}}\sum _{k}{\frac {E_{k}\cos \omega _{k}t}{\omega _{k}^{2}}}.}$ Среднее значение смещения ${\displaystyle \delta r}$ равно нулю, а средний квадрат смещения будет отличен от нуля: ${\displaystyle {\overline {\delta r^{2}}}={\frac {e^{2}}{2m^{2}}}\sum _{k}{\frac {E_{k}^{2}}{\omega _{k}^{4}}}.}$

Используем формулу энергии нулевых колебаний

${\displaystyle W={\frac {1}{4\pi }}\int \limits _{V}E^{2}\,dV=\sum _{k}{\frac {1}{2}}\hbar \omega _{k}.}$

(3)

Разложение (2) в формуле (3) приводит к равенству ${\displaystyle E_{k}^{2}={\frac {4\pi \hbar \omega _{k}}{V}},}$ а средний квадрат амплитуды дрожания электрона на орбите будет равен ${\displaystyle {\overline {\delta r^{2}}}={\frac {2\pi e^{2}\hbar }{Vm^{3}}}\sum _{k}{\frac {1}{\omega _{k}^{3}}}.}$

Заменим здесь суммирование по волновым векторам на интегрирование по частотам вакуумных фотонов ${\displaystyle \sum _{k}\mapsto 2V\int {\frac {dk}{(2\pi)^{3}}}.}$ Множитель ${\displaystyle 2}$ отвечает двум возможным поляризациям фотона.

В результате для ${\displaystyle {\overline {\delta r^{2}}}}$ получаем следующий интеграл:

${\displaystyle {\overline {\delta r^{2}}}={\frac {2}{\pi }}\alpha \left({\frac {\hbar }{mc}}\right)^{2}\int {\frac {d\omega }{\omega }},}$

где ${\displaystyle \alpha ={\frac {e^{2}}{\hbar c}}}$ — постоянная тонкой структуры .

Оценим верхний и нижний пределы интегрирования в этом выражении. Так как движение электрона имеет нерелятивистский характер, то импульс, получаемый от фотона нулевых колебаний, ${\displaystyle \hbar k<mc.}$

Верхний предел интегрирования

${\displaystyle \omega _{\text{max}}={\frac {mc^{2}}{\hbar }}.}$

Нижний предел интегрирования

${\displaystyle \omega _{\text{min}}={\frac {E_{n}}{\hbar }}={\frac {(Ze^{2})^{2}m}{2n^{2}\hbar ^{3}}},}$

где ${\displaystyle n=1,2,3,\dots }$ — главное квантовое число .

Таким образом, окончательно имеем

${\displaystyle {\overline {\delta r^{2}}}={\frac {2}{\pi }}\alpha \left({\frac {\hbar }{mc}}\right)^{2}\ln {\frac {2n^{2}}{(Z\alpha)^{2}}}.}$

Размеры области, по которой изменяются координаты электрона, определяются величиной

${\displaystyle r_{\text{vac}}={\sqrt {\overline {\delta r^{2}}}}={\frac {{\sqrt {\alpha }}\hbar }{mc}}.}$

Вследствие влияния нулевых колебаний выражение для потенциальной энергии взаимодействия электрона с ядром вместо выражения

${\displaystyle V(r)=e\varphi }$

преобразуется к виду

${\displaystyle V(r)=V+\delta {V}=e\varphi (r+\delta r)=e\left[1+(\delta r\nabla)+{\frac {1}{2}}(\delta {r}\nabla)^{2}+\dots \right]\varphi (r).}$

(4)

В этой формуле выполнено разложение потенциала ядра по малому параметру ${\displaystyle \delta r}$ , а ${\displaystyle \nabla }$ — векторный дифференциальный оператор .

Усредняя уравнение (4) по дрожанию электрона и имея в виду уравнение Пуассона ${\displaystyle \Delta \varphi (r)=-4\pi \rho (r),}$ получим дополнительную энергию взаимодействия электрона с ядром

${\displaystyle \delta V_{\text{vac}}={\frac {4}{3}}e\alpha \left({\frac {\hbar }{mc}}\right)^{2}\rho (r)\ln {\frac {2n^{2}}{(Z\alpha)^{2}}}.}$

Учитывая, что движение электрона в атоме водорода описывается волновой функцией ${\displaystyle \psi (r),}$ сдвиг уровней энергии ${\displaystyle \delta E_{\text{vac}}=\langle \delta V_{\text{vac}}\rangle ={\frac {4mc^{2}}{3\pi n^{3}}}\alpha {(Z\alpha)^{4}}\ln {\frac {2n^{2}}{Z\alpha ^{2}}},}$ где ${\displaystyle |\psi (0)|^{2}={\frac {Zm\alpha ^{3}}{\pi n^{3}}},}$ а угловые скобки означают усреднение по движению электрона.

Численное значение полученной оценки ${\displaystyle \delta E_{\text{vac}}}$ при ${\displaystyle n=2}$ составляет примерно 1000 МГц .

Примечания

Литература

• Скалли М. О., Зубайри М. С. . Квантовая оптика / под ред. В. В. Самарцева. — Физматлит, 2003.
• Сдвиг уровней — статья из Большой советской энциклопедии .