Interested Article - Тринадцатая проблема Гильберта

Трина́дцатая пробле́ма Ги́льберта — одна из 23 задач , которые Давид Гильберт предложил 8 августа 1900 года на II Международном конгрессе математиков . Она была мотивирована применением методов номографии к вычислению корней уравнений высоких степеней, и касалась представимости функций нескольких переменных, в частности, решения уравнения седьмой степени как функции от коэффициентов, в виде суперпозиции нескольких непрерывных функций двух переменных.

Проблема была решена В. И. Арнольдом совместно с А. Н. Колмогоровым , доказавшими, что любая непрерывная функция любого количества переменных представляется в виде суперпозиции непрерывных функций одной и двух переменных (и, более того, что в таком представлении можно обойтись, в дополнение к непрерывным функциям одной переменной, единственной функцией двух переменных — сложением ):

f(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{q=0}^{2n}\Phi _{q}\left(\sum _{p=1}^{n}\psi _{q,p}(x_{p})\right).

f(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{{q=0}}^{{2n}}\Phi _{q}\left(\sum _{{p=1}}^{n}\psi _{{q,p}}(x_{p})\right).

Функций $\Phi _{q}$ $\Phi _{q}$ и $\psi _{q,p}$ $\psi _{q,p}$ , не считая нулевых, требуется не более $(n+1)(2n+1)$ $(n+1)(2n+1)$ штук, в частности, для двух переменных — не более 15, для трех — не более 28.

Постановка проблемы

Уравнения степеней до четвёртой включительно разрешимы в радикалах : для их решений существуют явные формулы ( формула Кардано и метод Феррари для уравнений третьей и четвёртой степени соответственно). Для уравнений степеней, начиная с пятой, их неразрешимость в радикалах утверждается теоремой Абеля — Руффини . Однако преобразования Чирнгауза позволяют свести общее уравнение степени $n>4$ $n>4$ к виду, свободному от коэффициентов при $x^{n-1}$ $x^{{n-1}}$ , $x^{n-2}$ $x^{{n-2}}$ и $x^{n-3}$ $x^{{n-3}}$ ; для $n=5$ $n=5$ этот результат был получен Брингом в 1786 , и для общего случая Джерардом в 1834 . . Тем самым (после дополнительной перенормировки), решение уравнений степеней 5-й, 6-й и 7-й степеней сводилось к решению уравнений вида

x^{5}+ax+1=0

x^{5}+ax+1=0

,

x^{6}+ax^{2}+bx+1=0,

x^{6}+ax^{2}+bx+1=0,

x^{7}+ax^{3}+bx^{2}+cx+1=0

x^{7}+ax^{3}+bx^{2}+cx+1=0

зависящих от одного, двух и трех параметров соответственно.

Непредставимость с сохранением класса гладкости

Решение: теоремы Колмогорова и Арнольда

Литература

В. И. Арнольд, Избранное-60, М.: Фазис, 1997. С. 18, теорема 4.
(неопр.) . Дата обращения: 21 сентября 2010. Архивировано из 4 марта 2016 года.
Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .

В. И. Арнольд. Избранное-60. — М. : Фазис, 1997.
В. И. Арнольд. // Матем. сб.. — 1959. — Т. 48(90) , № 1 . — С. 3—74 .
А. Н. Колмогоров. О представлении непрерывных функций нескольких переменных в виде суперпозиций непрерывных функций одной переменной и сложения // ДАН СССР. — 1957. — Т. 114 , вып. 5 . — С. 953—956 .
А. Г. Витушкин. // УМН . — 2004. — Т. 59 , № 1(355) . — С. 11–24 .
В. В. Прасолов . . — М. : МЦНМО , 2003. — 336 с. — ISBN 5-94057-077-1 .
В. И. Арнольд. // Функц. анализ и его прил.. — 1970. — Вып. 2 , № 4 . — С. 1-9 .
В. И. Арнольд. // Функц. анализ и его прил.. — 1970. — Вып. 1 , № 4 . — С. 84—85 .
Г. Н. Чеботарев. // Учён. зап. Казан. гос. ун-та. — 1954. — Т. 114 , № 2 . — С. 189—193 .
/ под ред. П. С. Александрова . — М. : Наука, 1969. — 240 с. — 10 700 экз. от 17 октября 2011 на Wayback Machine
David Hilbert . (нем.) . — Текст доклада, прочитанного Гильбертом 8 августа 1900 года на II Международном конгрессе математиков в Париже . Дата обращения: 27 августа 2009. Архивировано из 8 апреля 2012 года.