Interested Article - Случайный процесс

Компьютерная реализация на поверхности сферы. Винеровский процесс считается наиболее изученным и центральным стохастическим процессом в теории вероятностей.

Случа́йный проце́сс (вероятностный процесс, случайная функция, стохастический процесс) в теории вероятностей — семейство случайных величин , индексированных некоторым параметром , чаще всего играющим роль времени или координаты .

Определение

Пусть $(E,{\mathfrak {B}})$ $(E,{\mathfrak {B}})$ — измеримое пространство , $T$ $T$ множество значений параметра $t$ $t$ . Функция $\xi =\xi (t)$ $\xi =\xi (t)$ параметра $t\in T$ $t\in T$ , значениями которой являются случайные величины $\xi (t)=\xi (\omega ,t)$ $\xi (t)=\xi (\omega ,t)$ на пространстве элементарных событий $(\Omega ,{\mathfrak {A}},\mathbb {P})$ $(\Omega ,{\mathfrak {A}},\mathbb {P})$ в фазовом пространстве $(E,{\mathfrak {B}})$ $(E,{\mathfrak {B}})$ , называется случайным процессом в фазовом пространстве $(E,{\mathfrak {B}})$ $(E,{\mathfrak {B}})$ .

Терминология

Используемые в области исследований и прикладного применения случайных процессов классификация и терминология являются нестрогими. В частности, термин «случайный процесс» часто используется как безусловный синоним термина «случайная функция». В зависимости от вида множества $T$ $T$ часто применяются следующие термины.

Если $T\subset \mathbb {R}$ $T\subset \mathbb {R}$ , то параметр $t\in T$ $t\in T$ может интерпретироваться как время . Тогда случайная функция $\{X_{t}\}$ $\{X_{t}\}$ называется случайным процессом . Если множество $T$ $T$ дискретно, например $T\subset \mathbb {N}$ $T\subset {\mathbb {N}}$ , то такой случайный процесс называется случа́йной после́довательностью .

Если $T\subset \mathbb {R} ^{n}$ $T\subset {\mathbb {R}}^{n}$ , где $n\geqslant 1$ $n\geqslant 1$ , то параметр $t\in T$ $t\in T$ может интерпретироваться как точка в пространстве, и тогда случайную функцию называют случа́йным по́лем .

Основные сведения

Всевозможные совместные распределения вероятностей значений $\xi (t_{1}),...,\xi (t_{n}),t_{1},...,t_{n}\in T$ $\xi (t_{1}),...,\xi (t_{n}),t_{1},...,t_{n}\in T$ :

P_{t_{1}},...,_{t_{n}}(B_{1},...B_{n})=P\left\{\xi (t_{1})\in B_{1},...,\xi (t_{n})\in B_{n}\right\}(B_{1},...B_{n}\in {\mathfrak {B}})

P_{t_{1}},...,_{t_{n}}(B_{1},...B_{n})=P\left\{\xi (t_{1})\in B_{1},...,\xi (t_{n})\in B_{n}\right\}(B_{1},...B_{n}\in {\mathfrak {B}})

называются конечномерными распределениями вероятностей случайного процесса $\xi =\xi (t)$ $\xi =\xi (t)$ .
Случайные процессы $\xi =\xi (t)$ $\xi =\xi (t)$ и $\eta =\eta (t)$ $\eta =\eta (t)$ , принимающие значение в фазовом пространстве $(E,{\mathfrak {B}})$ $(E,{\mathfrak {B}})$ называются эквивалентными , если при любом $t\in T$ $t\in T$ эквивалентны соответствующие значения $\xi (t)=\xi (\omega ,t)$ $\xi (t)=\xi (\omega ,t)$ и $\eta (t)=\eta (\omega ,t)$ $\eta (t)=\eta (\omega ,t)$ .

При каждом фиксированном $\omega \in \Omega$ $\omega \in \Omega$ функция $\xi (t)=\xi (\omega ,t)$ $\xi (t)=\xi (\omega ,t)$ параметра $t$ $t$ со значениями в фазовом пространстве $(E,{\mathfrak {B}})$ $(E,{\mathfrak {B}})$ называется реализацией или траекто́рией случайного процесса $\xi =\xi (t)$ $\xi =\xi (t)$ . Случайный процесс $\xi =\xi (t)$ $\xi =\xi (t)$ называется непосредственно заданным , если каждый элементарный исход описывается соответствующей траекторией $x=x(t)$ $x=x(t)$ в функциональном пространстве $E=E^{T}$ $E=E^{T}$ всех функций на множестве $T$ $T$ со значениями в фазовом пространстве $(E,{\mathfrak {B}})$ $(E,{\mathfrak {B}})$ ; точнее, если $\Omega =X$ $\Omega =X$ и $\sigma$ $\sigma$ -алгебра ${\mathfrak {A}}$ ${\mathfrak {A}}$ порождается всевозможными цилиндрическими множествами ${x(t_{1})\in B_{1},...,x(t_{n})\in B_{n}}$ ${x(t_{1})\in B_{1},...,x(t_{n})\in B_{n}}$ , где $t_{1},...,t_{n}\in T$ $t_{1},...,t_{n}\in T$ и $B_{1},...B_{n}\in {\mathfrak {B}}$ $B_{1},...B_{n}\in {\mathfrak {B}}$ , а значения $\xi (t)=\xi (x,t)$ $\xi (t)=\xi (x,t)$ имеют вид $\xi (x,t)=x(t)$ $\xi (x,t)=x(t)$ , $x\in X$ $x\in X$ . Любому случайному процессу можно поставить в соответствие непосредственно заданный случайный процесс с теми же самыми конечномерный распределениями. Для каждого согласованного семейства конечномерных распределений вероятностей $P_{t_{1}},...,_{t_{n}}(B_{1},...B_{n})$ $P_{t_{1}},...,_{t_{n}}(B_{1},...B_{n})$ ( $t_{1},...,t_{n}\in T,B_{1},...B_{n}\in {\mathfrak {B}})$ $t_{1},...,t_{n}\in T,B_{1},...B_{n}\in {\mathfrak {B}})$ таких, что $P_{t}=P_{t}(B),t\in T$ $P_{t}=P_{t}(B),t\in T$ , являются плотными мерами в фазовом топологическом пространстве $(E,{\mathfrak {B}})$ $(E,{\mathfrak {B}})$ , существует непосредственно заданный случайный процесс $\xi =\xi (t)$ $\xi =\xi (t)$ с такими же конечномерными распределениями вероятностей.

Ковариационная функция . Пусть $\xi =\xi (t)$ $\xi =\xi (t)$ действительный или комплексный случайный процесс на множестве $T$ $T$ , имеющий вторые моменты: $E|\xi (t)|^{2}<\infty$ $E|\xi (t)|^{2}<\infty$ . Значения случайного процесса $\xi =\xi (t)$ $\xi =\xi (t)$ можно рассматривать как элементы гильбертова пространства $L^{2}(\Omega)$ $L^{2}(\Omega)$ — пространства всех случайных величин $\eta$ $\eta$ , $E|\eta (t)|^{2}<\infty$ $E|\eta (t)|^{2}<\infty$ , со скалярным произведением

({\eta }_{1},{\eta }_{2})=E{\eta }_{1}{\overline {\eta }}_{2}

({\eta }_{1},{\eta }_{2})=E{\eta }_{1}{\overline {\eta }}_{2}

.

Важнейшими характеристиками такого случайного процесса $\xi (t)$ $\xi (t)$ являются его математическое ожидание

A(t)=E\xi (t)=(\xi (t),1)

A(t)=E\xi (t)=(\xi (t),1)

и ковариационная функция

B(s,t)=E{\xi (s)}{\overline {\xi (t)}}=(\xi (s),\xi (t))

B(s,t)=E{\xi (s)}{\overline {\xi (t)}}=(\xi (s),\xi (t))

.

Вместо ковариационной функции может применятся корреляционная функция $B(s,t)=E{\xi (s)}{\overline {\xi (t)}}-A(s){\overline {A(t)}}$ $B(s,t)=E{\xi (s)}{\overline {\xi (t)}}-A(s){\overline {A(t)}}$ , являющуюся ковариационной функцией процесса $\xi (t)-A(t)$ $\xi (t)-A(t)$ с нулевым математическим ожиданием.
При равенстве аргументов ( $s=t$ $s=t$ ) корреляционная функция равна дисперсии случайного процесса

B(s,s)=E(\xi (s)-A(s))({\overline {\xi (s)-A(s)}})=D(s)

B(s,s)=E(\xi (s)-A(s))({\overline {\xi (s)-A(s)}})=D(s)

.

Функция $B(s,t)$ $B(s,t)$ двух переменных $s$ $s$ и $t$ $t$ является ковариационной функцией некоторого случайного процесса $\xi (t)$ $\xi (t)$ , $E|\xi (t)|^{2}<\infty$ $E|\xi (t)|^{2}<\infty$ , тогда и только тогда, когда она для всех $n=1,2,...$ $n=1,2,...$ удовлетворяет следующему условию положительной определенности:

\sum _{k=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{B(t_{k},t_{j})c_{k}}{\overline {c_{j}}}\geqslant 0

\sum _{k=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{B(t_{k},t_{j})c_{k}}{\overline {c_{j}}}\geqslant 0

для любых $t_{1},t_{2},...t_{n}\in T$ $t_{1},t_{2},...t_{n}\in T$ и любых комплексных чисел $c_{1},c_{2}...,c_{n}$ $c_{1},c_{2}...,c_{n}$ .

Классификация

Случайный процесс $X(t)$ $X(t)$ называется процессом дискретным во времени , если система, в которой он протекает, меняет свои состояния только в моменты времени $\;t_{1},t_{2},\ldots$ $\;t_{1},t_{2},\ldots$ , число которых конечно или счётно. Случайный процесс называется процессом с непрерывным временем , если переход из состояния в состояние может происходить в любой момент времени.
Случайный процесс называется процессом с непрерывными состояниями , если значением случайного процесса является непрерывная случайная величина. Случайный процесс называется случайным процессом с дискретными состояниями , если значением случайного процесса является дискретная случайная величина:
Случайный процесс называется стационарным , если все многомерные законы распределения зависят только от взаимного расположения моментов времени $\;t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n}$ $\;t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n}$ , но не от самих значений этих величин. Другими словами, случайный процесс называется стационарным , если его вероятностные закономерности неизменны во времени. В противном случае, он называется нестационарным .
Случайная функция называется стационарной в широком смысле , если её математическое ожидание и дисперсия постоянны, а АКФ зависит только от разности моментов времени, для которых взяты ординаты случайной функции. Понятие ввёл А. Я. Хинчин .
Случайный процесс называется процессом со стационарными приращениями определённого порядка, если вероятностные закономерности такого приращения неизменны во времени. Такие процессы были рассмотрены Ягломом .
Если ординаты случайной функции подчиняются нормальному закону распределения , то и сама функция называется нормальной .
Случайные функции, закон распределения ординат которых в будущий момент времени полностью определяется значением ординаты процесса в настоящий момент времени и не зависит от значений ординат процесса в предыдущие моменты времени, называются марковскими .
Случайный процесс называется процессом с независимыми приращениями , если для любого набора $t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n}$ $t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n}$ , где $n>2$ $n>2$ , а $t_{1}<t_{2}<\ldots <t_{n}$ $t_{1}<t_{2}<\ldots <t_{n}$ , случайные величины $(X_{t_{2}}-X_{t_{1}})$ $(X_{{t_{2}}}-X_{{t_{1}}})$ , $(X_{t_{3}}-X_{t_{2}})$ $(X_{{t_{3}}}-X_{{t_{2}}})$ , $\ldots$ $\ldots$ , $(X_{t_{n}}-X_{t_{n-1}})$ $(X_{{t_{n}}}-X_{{t_{{n-1}}}})$ независимы в совокупности.
Если при определении моментных функций стационарного случайного процесса операцию усреднения по статистическому ансамблю можно заменить усреднением по времени, то такой стационарный случайный процесс называется эргодическим .
Среди случайных процессов выделяют импульсные случайные процессы .
Ветвящийся случайный процесс может описывать явления, связанные с размножением, делением или превращениями объектов.

Примеры

$\{X_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ $\{X_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ , где $\;X_{i}\sim \mathrm {N} (0,1)$ $\;X_{i}\sim {\mathrm {N}}(0,1)$ называется стандартной гауссовской (нормальной) случайной последовательностью.
Пусть $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ $f\colon {\mathbb {R}}\to {\mathbb {R}}$ , и $Y$ $Y$ — случайная величина. Тогда

X_{t}(\omega)=f(t)\cdot Y(\omega)

X_{t}(\omega)=f(t)\cdot Y(\omega)

является случайным процессом.

См. также

Примечания

Joseph L. Doob. . — Wiley, 1962. — 676 с.
L. C. G. Rogers, David Williams. . — Cambridge University Press, 2000-04-13. — 412 с. — ISBN 978-1-107-71749-7 .
↑ J. Michael Steele. . — Springer Science & Business Media, 2012-12-06. — 303 с. — ISBN 978-1-4684-9305-4 .
Emanuel Parzen. . — Courier Dover Publications, 2015-06-17. — 340 с. — ISBN 978-0-486-79688-8 .
Iosif Il?ich Gikhman, Anatoli? Vladimirovich Skorokhod. . — Courier Corporation, 1996-01-01. — 548 с. — ISBN 978-0-486-69387-3 .
↑ Прохоров Ю. В., Розанов Ю. А. Теория вероятностей (Основные понятия. Предельные теоремы. Случайные процессы) — М.: Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1973. — 496 стр.
(неопр.) . www.booksite.ru . Дата обращения: 20 августа 2021.
Яглом А. М. Корреляционная теория процессов со случайными стационарными параметрическими приращениями // Математический сборник. Т. 37. Вып. 1. С. 141—197. — 1955.

Литература

Свешников А. А. Прикладные методы теории случайных функций. — Гл.ред.физ.-мат.лит., 1968.
Баскаков С. И. Радио/технические цепи и сигналы. — Высшая школа, 2000.
Натан А. А. , Горбачёв О. Г., Гуз С. А. : учеб. пособие по курсу «Случайные процессы» — М.: МЗ Пресс — МФТИ, 2003. — 168 с. ISBN 5-94073-055-8 .
Вентцель Е. С. , Теория случайных процессов и её инженерные приложения. — М. : Наука, 1991. — 384 с. — ISBN 5-02-014125-9 .
Куликов Е. И. Методы измерения случайных процессов. — М. : Радио и связь, 1986. — 272 с.
Ралф Деч. Нелинейные преобразования случайных процессов. — М. : Советское радио, 19656. — 206 с.