В векторном анализе ве́кторный потенциа́л — это векторное поле , ротор которого равен заданному векторному полю. Он аналогичен скалярному потенциалу , который определяется как скалярное поле, градиент которого равен заданному векторному полю.

Формально, если ${\displaystyle \mathbf {v} }$ — векторное поле, векторным потенциалом называется векторное поле ${\displaystyle \mathbf {A} }$ такое, что

${\displaystyle \mathbf {v} =\nabla \times \mathbf {A} .}$

Если ${\displaystyle \mathbf {A} }$ является векторным потенциалом для поля ${\displaystyle \mathbf {v} }$ , то из тождества

${\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A})=0}$

( дивергенция ротора равна нулю) следует

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {v} =\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A})=0,}$

то есть ${\displaystyle \mathbf {v} }$ должно быть соленоидальным векторным полем .

Для любого соленоидального векторного поля, удовлетворяющего определённым условиям, существует векторный потенциал. В частности, его существование зависит от области, на которой определено поле — в случае многосвязной области потенциал вихревого поля обычно не существует.

Теорема

Пусть

${\displaystyle \mathbf {v} :\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}}$

— дважды непрерывно дифференцируемое соленоидальное векторное поле . Предположим, что ${\displaystyle \mathbf {v} \left(\mathbf {x} \right)}$ убывает достаточно быстро при ${\displaystyle \|\mathbf {x} \|\rightarrow \infty }$ . Определим

${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {x})={\frac {1}{4\pi }}\int \limits _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {\nabla _{y}\times \mathbf {v} (\mathbf {y})}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \right\|}}\,d\mathbf {y} .}$

Тогда ${\displaystyle \mathbf {A} }$ является векторным потенциалом для ${\displaystyle \mathbf {v} }$ , то есть

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {A} =\mathbf {v} .}$

Обобщением этой теоремы является разложение Гельмгольца , согласно которому любое векторное поле может быть представлено как сумма соленоидального векторного поля и безвихревого векторного поля .

Неоднозначность выбора потенциала

Векторный потенциал соленоидального векторного поля определяется неоднозначно. Если ${\displaystyle \mathbf {A} }$ является векторным потенциалом для ${\displaystyle \mathbf {v} }$ , также им является

${\displaystyle \mathbf {A} +\nabla m,}$

где ${\displaystyle m}$ — любая непрерывно дифференцируемая скалярная функция. Это является следствием того факта, что ротор градиента равен нулю.

В электродинамике это даёт неоднозначность при определении потенциалов электромагнитного поля и решается наложением на потенциал дополнительного условия калибровки .

Векторный потенциал в физике

Уравнения Максвелла

Одним из способов записи уравнений Максвелла является формулировка в терминах векторного и скалярного потенциалов. Векторный потенциал ${\displaystyle \mathbf {A} }$ вводится таким образом, что

${\displaystyle \mu _{0}\mathbf {H} =\mathbf {B} =\operatorname {rot} \mathbf {A} }$ (в системе СИ ).

При этом уравнение ${\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {B} =0}$ удовлетворяется автоматически.

Подстановка выражения для ${\displaystyle \mathbf {A} }$ в

${\displaystyle \operatorname {rot} \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}$

приводит к уравнению

${\displaystyle \operatorname {rot} \left(\mathbf {E} +{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\right)=0,}$

согласно которому, так же как и в электростатике , вводится скалярный потенциал. Однако теперь в ${\displaystyle \mathbf {E} }$ вносят вклад и скалярный, и векторный потенциалы:

${\displaystyle \mathbf {E} =-\operatorname {grad} \;\varphi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}.}$

Из уравнения ${\displaystyle \operatorname {rot} \mathbf {H} =\mathbf {j} +{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}}$ следует

${\displaystyle \operatorname {rot} \;\operatorname {rot} \mathbf {A} =\mu _{0}\mathbf {j} +\varepsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(-\operatorname {grad} \;\varphi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\right).}$

Используя равенство ${\displaystyle \operatorname {rot} \;\operatorname {rot} \mathbf {A} =\operatorname {grad} \;\operatorname {div} \mathbf {A} -\nabla ^{2}\mathbf {A} }$ , уравнения для векторного и скалярного потенциалов можно записать в виде

${\displaystyle \Delta \mathbf {A} -\operatorname {grad} \left(\operatorname {div} \mathbf {A} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}\right)-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}=-\mu _{0}\mathbf {j} ,}$

${\displaystyle \Delta \varphi +{\frac {\partial }{\partial t}}\operatorname {div} \mathbf {A} =-{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}.}$

Физический смысл векторного потенциала

В классической электродинамике векторный потенциал достаточно часто трактовался как величина, не имеющая непосредственного физического смысла, формально вводимая лишь для удобства выкладок, хотя уже в структуре действия для классической электродинамики векторный потенциал входит таким прямым образом, что это наводит на мысль о его фундаментальном характере.

В квантовой теории это имеет прозрачный физический смысл прямого влияния векторного потенциала на фазу волновой функции движущейся в магнитном поле частицы. Более того, удалось поставить квантовые эксперименты, показавшие, что векторный потенциал доступен достаточно непосредственному в некотором смысле измерению (по крайней мере, речь идёт о том, что векторный потенциал может влиять наблюдаемым измеримым образом на квантовую частицу даже тогда, когда напряженность магнитного поля в областях, доступных частице, всюду равна нулю, то есть магнитное поле не может оказывать воздействие на частицу через напряженность, а лишь прямо — через векторный потенциал; см. Эффект Ааронова — Бома ).

Подобно тому, как скалярный потенциал связан с понятием энергии , векторный потенциал обнаруживает тесную связь с понятием импульса . Так, в случае быстрого отключения магнитного поля частица, находившаяся в нём, получает дополнительный импульс qA.

См. также

• Скалярный потенциал
• Основная теорема векторного анализа
• Векторный потенциал электромагнитного поля
• Калибровка векторного потенциала