Фо́рмулы Френе́ля связывают амплитуды преломлённой и отражённой электромагнитных волн с амплитудой волны, падающей на плоскую границу раздела двух сред с разными показателями преломления . Названы в честь французского физика Огюста Френеля , получившего эти формулы. Отражение света, описываемое формулами Френеля, называется френелевским отражением .

Предварительная информация

При падении на плоскую границу различают две поляризации света:

1) S -поляризация — вектор напряжённости электрического поля электромагнитной волны перпендикулярен плоскости падения (т.е. плоскости, в которой лежат и падающий, и отражённый луч);

2) P -поляризация — вектор напряжённости электрического поля лежит в плоскости падения.

Формулы Френеля для s -поляризации и p -поляризации различаются.

Пусть ${\displaystyle E_{i}}$ , ${\displaystyle E_{r}}$ , ${\displaystyle E_{t}}$ — комплексные амплитуды падающей, отраженной и преломлённой волн соответственно. Тогда величина ${\displaystyle r={\frac {E_{r}}{E_{i}}}}$ называется амплитудным коэффициентом отражения, а величина ${\displaystyle t={\frac {E_{t}}{E_{i}}}}$ — амплитудным коэффициентом пропускания. Буквами ${\displaystyle r_{s}}$ , ${\displaystyle r_{p}}$ , ${\displaystyle t_{s}}$ , ${\displaystyle t_{p}}$ будем обозначать соответствующие амплитудные коэффициенты для s- и p-поляризованных волн.

Формулы

Общий случай

${\displaystyle {\begin{aligned}r_{\text{s}}&={\frac {n_{1}\cos \theta _{\text{i}}-n_{2}\cos \theta _{\text{t}}}{n_{1}\cos \theta _{\text{i}}+n_{2}\cos \theta _{\text{t}}}},\\[3pt]t_{\text{s}}&={\frac {2n_{1}\cos \theta _{\text{i}}}{n_{1}\cos \theta _{\text{i}}+n_{2}\cos \theta _{\text{t}}}},\\[3pt]r_{\text{p}}&={\frac {n_{2}\cos \theta _{\text{i}}-n_{1}\cos \theta _{\text{t}}}{n_{2}\cos \theta _{\text{i}}+n_{1}\cos \theta _{\text{t}}}},\\[3pt]t_{\text{p}}&={\frac {2n_{1}\cos \theta _{\text{i}}}{n_{2}\cos \theta _{\text{i}}+n_{1}\cos \theta _{\text{t}}}}.\end{aligned}}}$

где

${\displaystyle n_{1}}$ — показатель преломления среды, из которой падает волна,

${\displaystyle n_{2}}$ — показатель преломления среды, в которую волна проходит,

${\displaystyle \theta _{i}}$ — угол падения,

${\displaystyle \theta _{t}}$ — угол преломления

Угол падения связан с углом преломления законом Снеллиуса :

${\displaystyle n_{1}\sin \theta _{i}=n_{2}\sin \theta _{t}}$

Поскольку свет с разными поляризациями по-разному отражается от поверхности, то отражённый свет всегда частично поляризован, даже если падающий свет неполяризован. При некотором угле падения, называемым углом Брюстера , отражённый луч оказывается полностью поляризован. Его поляризация оказывается линейной, перпендикулярной к плоскости падения (то есть выполняется условие ${\displaystyle r_{p}=0}$ ). Угол Брюстера ${\displaystyle \theta _{B}}$ зависит от отношения показателей преломления сред, образующих границу раздела и может быть найден по формуле:

$${\displaystyle \operatorname {tg} \theta _{B}={\frac {n_{2}}{n_{1}}}}$$

Коэффициенты отражения и преломления по энергии могут быть рассчитаны по формулам:

${\displaystyle R=|r|^{2}}$

${\displaystyle T={\frac {n_{2}\cos \theta _{t}}{n_{1}\cos \theta _{i}}}|t|^{2}}$

• Зависимость коэффициентов пропускания и отражения от угла падения света
• 
  из менее оптически плотной среды (воздуха) в более оптически плотную (стекло)
• 
  из более оптически плотной среды (стекло) в менее оптически плотную (воздух)

Нормальное падение

В случае нормального падения света исчезает разница между p - и s -поляризованными волнами. Тогда амплитудные коэффициенты становятся равны:

${\displaystyle r_{s}=-r_{p}={\frac {n_{1}-n_{2}}{n_{2}+n_{1}}},}$

${\displaystyle t_{s}=t_{p}={\frac {2n_{1}}{n_{2}+n_{1}}}.}$

Разница в знаках ${\displaystyle r_{s}}$ и ${\displaystyle r_{p}}$ обусловлена выбором направлений векторов напряженности электрического поля: в случае p -поляризации в пределе нормального падения векторы падающей и отражённой волны оказываются направлены в противоположные стороны, а в случае s -поляризации остаются сонаправленными.

Коэффициенты отражения и преломления по энергии:

${\displaystyle R=\left|{\frac {n_{2}-n_{1}}{n_{2}+n_{1}}}\right|^{2},}$

${\displaystyle T={\frac {4n_{1}n_{2}}{(n_{2}+n_{1})^{2}}}.}$

Границы применимости

Формулы Френеля справедливы в том случае, когда граница раздела двух сред гладкая, среды изотропны, угол отражения равняется углу падения, а угол преломления определяется законом Снеллиуса . В случае неровной поверхности, особенно когда характерные размеры неровностей одного порядка с длиной волны , большое значение имеет диффузное отражение света на поверхности.

В компьютерной графике

Для аппроксимации вклада фактора Френеля в зеркальное отражение используется аппроксимация Шлика .

Литература

• Джексон Дж. Классическая электродинамика. — М. : «Мир», 1965.

• Сивухин Д. В. Общий курс физики. Т. 4. Оптика.. — 3-е изд.. — М. : ФИЗМАТЛИТ, 2005. — 792 с. — ISBN 5-9221-0228-1 .

• Борн М., Вольф Э. Основы оптики. — 2-е изд.. — М. : «Наука», 1973. — 720 с.

• Колоколов А. А. (рус.) // Успехи физических наук . — Российская академия наук , 1999. — Т. 169 . — С. 1025 .