Interested Article - Циклическая группа

Циклическая группа группа , которая может быть порождена одним элементом a , то есть все её элементы являются степенями a (или, если использовать аддитивную терминологию, представимы в виде na , где n целое число ). Математическое обозначение: .

Несмотря на своё название, группа не обязательно должна буквально представлять собой «цикл». Может случиться так, что все степени будут различными. Порождённая таким образом группа называется бесконечной циклической группой и изоморфна группе целых чисел по сложению

Свойства

  • Все циклические группы абелевы .
  • Каждая конечная циклическая группа изоморфна группе = со сложением по модулю n (её также обозначают ), а каждая бесконечная — изоморфна , группе целых чисел по сложению.
    • В частности, для каждого натурального числа n существует единственная (с точностью до изоморфизма) циклическая группа порядка n .
  • Каждая подгруппа циклической группы циклична.
  • У циклической группы порядка n существует ровно ( функция Эйлера ) порождающих элементов.
  • Если p простое число , то любая группа порядка p циклическая и единственна с точностью до изоморфизма (это следует из теоремы Лагранжа ).
  • Прямое произведение двух циклических групп порядков и циклично тогда и только тогда, когда n и m взаимно просты.
    • Например, изоморфна , но не изоморфна .
  • Основная теорема о конечнопорождённых абелевых группах утверждает, что любая конечнопорождённая абелева группа единственным образом разлагается в прямое произведение примарных циклических групп. Примарной группой может быть циклическая группа , где p — простое число, или .
  • Мультипликативная группа любого конечного поля является циклической (она порождается элементом поля наибольшего порядка).
  • Кольцо эндоморфизмов группы изоморфно кольцу . При этом изоморфизме числу r соответствует эндоморфизм , который сопоставляет элементу сумму r его экземпляров. Такое отображение будет биекцией , тогда и только тогда, когда r взаимно просто с n , так что группа автоморфизмов изоморфна .

Примеры

Доказательства

Утверждение . Каждая подгруппа циклической группы циклична.

Доказательство . Пусть — циклическая группа и — подгруппа группы . Если группа тривиальна (состоит из одного элемента), то и циклична. Если — тривиальная подгруппа (состоит из единичного элемента или совпадает со всей группой G), то циклична. Далее в ходе доказательства будем считать, что и не являются тривиальными.

Пусть — образующий элемент группы , а — наименьшее положительное целое число, такое что . Утверждение:


Следовательно, .


Пусть .
.
Согласно алгоритму деления с остатком
.
.
Исходя из того, каким образом мы выбрали и того, что , делаем вывод, что .
.
Следовательно, .

Литература

  • Винберг Э. Б. Курс алгебры. — М.: Факториал Пресс, 2001.
  • Хамермеш М. Теория групп и её применение к физическим проблемам. — М.: Мир, 1966.
Источник —

Same as Циклическая группа