Табли́ца умноже́ния , она же табли́ца Пифаго́ра — таблица, где строки и столбцы озаглавлены множителями , а в ячейках таблицы находится их произведение . Используется для обучения школьников умножению .

История

Старейшая известная таблица умножения обнаружена в Древнем Вавилоне и имеет возраст примерно 4000 лет. Она основана на шестидесятеричной системе счисления . Старейшая десятеричная таблица умножения найдена в Древнем Китае и датируется 305 годом до н. э. Это так называемые , приобретённые в июле 2008 года на сянганском рынке культурных реликвий и хранящиеся в университете Цинхуа ; всего — 2388 дощечек, самая длинная из которых — 46 см, а самая короткая — 10 см .

Иногда изобретение таблицы умножения приписывают Пифагору , в честь которого она названа в различных языках, включая испанский , итальянский, русский и французский .

В 493 году Викторий Аквитанский создал таблицу из 98 столбцов, которая представляла в римских числах результат перемножения чисел от 2 до 50 .

В России первая таблица умножения была издана в 1682 году в первой печатной математической книге на русском языке , называвшейся «Считание удобное, которым всякий человек, купующий или продающий, зело удобно изыскати может число всякие вещи…» и содержавшей таблицу умножения пар чисел от ${\displaystyle 1\cdot 1}$ до ${\displaystyle 100\cdot 100}$ , записанных славянскими цифрами . По экземпляру этой книги хранится, например, в РГБ и в Научной библиотеке МГУ .

Джон Лесли в книге The Philosophy of Arithmetic (1820) опубликовал таблицу умножения чисел до 99, позволявшую перемножать цифры парами. Он же рекомендовал ученикам заучивать таблицу умножения до 25.

Изучение

В своё время введение заучиваемой наизусть таблицы умножения революционизировало устный и письменный счёт . До этого использовались разные хитрые способы вычисления произведений однозначных чисел, которые сильно замедляли весь процесс и служили источником дополнительных ошибок.

В российских школах значения традиционно доходят до ${\displaystyle 10\cdot 10}$ . В Великобритании до ${\displaystyle 12\cdot 12}$ , что связано в том числе с единицами английской системой мер длины (1 фут = 12 дюймов ) и денежного обращения (существовавшей до 1971 г.: 1 фунт стерлингов = 20 шиллингам , 1 шиллинг = 12 пенсам ).

В Советском Союзе таблицу умножения обычно «задавали на лето» после 1-го класса, а закрепляли на занятиях во 2-м классе (в возрасте 8 лет). В российских школах чаще всего проходят во 2-м классе. По стандартам английского школьного образования таблица умножения должна быть выучена к возрасту 11 лет (планируется ужесточение требования до 9 лет).

Обычное представление

Таблица умножения в десятичной системе

·	2	3	4	5	6	7	8	9
2	4	6	8	10	12	14	16	18
3	6	9	12	15	18	21	24	27
4	8	12	16	20	24	28	32	36
5	10	15	20	25	30	35	40	45
6	12	18	24	30	36	42	48	54
7	14	21	28	35	42	49	56	63
8	16	24	32	40	48	56	64	72
9	18	27	36	45	54	63	72	81

Как найти результат по таблице умножения

Чтобы узнать результат произведения ${\displaystyle 4\cdot 8}$ по таблице умножения, нужно найти четвёрку в левом столбце и восьмёрку в верхней строке, провести от 4 горизонтальную линию и от 8 вертикальную. Клетка, на которой линии встречаются, является произведением (в данном случае 32).

·	2	3	4	5	6	7	8	9
2	4	6	8	10	12	14	16	18
3	6	9	12	15	18	21	24	27
4	8	12	16	20	24	28	32	36
5	10	15	20	25	30	35	40	45
6	12	18	24	30	36	42	48	54
7	14	21	28	35	42	49	56	63
8	16	24	32	40	48	56	64	72
9	18	27	36	45	54	63	72	81

Применение

Помимо широко известного применения классической таблицы умножения для выработки практических навыков умножения натуральных чисел, её можно использовать в некоторых математических доказательствах, например при выводе формулы суммы кубов натуральных чисел или получении подобного выражения для суммы квадратов .

Обобщения

Наряду с таблицей умножения, в некоторых случаях бывают удобны таблицы сложения.

Таблица Кэли

Таблица Кэли — в общей алгебре , таблица, которая описывает структуру конечных алгебраических систем с одной бинарной операцией . Названа в честь английского математика Артура Кэли . Имеет важное значение в дискретной математике , в частности, в теории групп , в которой в качестве операций рассматриваются умножение и сложение. Таблица позволяет определить, является ли группа абелевой , найти центр группы и обратные элементы по отношению к другим элементам в этой группе.

В высшей алгебре таблицы Кэли могут также использоваться для определения бинарных операций в полях , кольцах и других алгебраических структурах. Также они удобны при проведении действий в данных структурах.

Модулярная арифметика

Все остатки от деления на натуральное число образуют кольцо , а от деления на простое число — поле . Это иллюстрируется таблицами умножения:

Таблица умножения в кольце вычетов по модулю 8

·	0	1	2	3	4	5	6	7
0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	3	4	5	6	7
2	0	2	4	6	0	2	4	6
3	0	3	6	1	4	7	2	5
4	0	4	0	4	0	4	0	4
5	0	5	2	7	4	1	6	3
6	0	6	4	2	0	6	4	2
7	0	7	6	5	4	3	2	1

Таблица умножения в поле вычетов по модулю 5

·	0	1	2	3	4
0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	3	4
2	0	2	4	1	3
3	0	3	1	4	2
4	0	4	3	2	1

См. также

• Умножение
• Деление (математика)
• Сложение
• Вычитание

Примечания