Interested Article - Линейное программирование

Линейное программирование — математическая дисциплина, посвящённая теории и методам решения экстремальных задач на множествах -мерного векторного пространства , задаваемых системами линейных уравнений и неравенств.

Линейное программирование (ЛП) является частным случаем выпуклого программирования , которое в свою очередь является частным случаем математического программирования . Одновременно оно — основа нескольких методов решения задач целочисленного и нелинейного программирования . Одним из обобщений линейного программирования является дробно-линейное программирование .

Многие свойства задач линейного программирования можно интерпретировать также как свойства многогранников и таким образом геометрически формулировать и доказывать их.

История

Математические исследования отдельных экономических проблем, математическая формализация числового материала проводилась ещё в XIX веке . При математическом анализе процесса расширенного производства использовались алгебраические соотношения, анализ их проводился с помощью дифференциального исчисления . Это давало возможность получить общее представление о проблеме.

Развитие экономики потребовало количественных показателей, и в 1920 годы был создан межотраслевой баланс ( МОБ ). Он-то и послужил толчком в деле создания и исследования математических моделей. Разработка МОБ в 1924 1925 годах в СССР повлияла на работы экономиста и статистика Василия Васильевича Леонтьева . Он разработал межотраслевую модель производства и распределения продукции.

В 1938 году Леонид Витальевич Канторович в порядке научной консультации приступил к изучению чисто практической задачи по составлению наилучшего плана загрузки лущильных станков (фанерный трест). Эта задача не поддавалась обычным методам. Стало ясно, что задача не случайная.

В 1939 году Леонид Канторович опубликовал работу «Математические методы организации и планирования производства», в которой сформулировал новый класс экстремальных задач с ограничениями и разработал эффективный метод их решения, таким образом были заложены основы линейного программирования.

Изучение подобных задач привело к созданию новой научной дисциплины линейного программирования и открыло новый этап в развитии экономико-математических методов.

В 1949 году американский математик Джордж Бернард Данциг разработал эффективный метод решения задач линейного программирования (ЗЛП) — симплекс-метод .

Термин «программирование» нужно понимать в смысле «планирования» (один из переводов англ. programming ). Он был предложен в середине 1940-х годов Джорджем Данцигом, одним из основателей линейного программирования, ещё до того, как компьютеры были использованы для решения линейных задач оптимизации .

Метод внутренних точек был впервые упомянут в 1967 году . . Эти исследования были продолжены в том числе и отечественными учёными. В 1970-е годы В. Г. Жадану удалось получить основные результаты и разработать общий подход к построению методов внутренней точки для решения задач линейного и нелинейного программирования, основанный на преобразовании пространств; предложить барьерно-проективные и барьерно-ньютоновские численные методы.

Задачи

Общей (стандартной) задачей линейного программирования называется задача нахождения минимума линейной целевой функции (линейной формы) вида :

Задача, в которой фигурируют ограничения в форме неравенств, называется основной задачей линейного программирования (ОЗЛП)

Задача линейного программирования будет иметь канонический вид , если в основной задаче вместо первой системы неравенств имеет место система уравнений с ограничениями в форме равенства :

Основную задачу можно свести к канонической путём введения дополнительных переменных.

Задачи линейного программирования наиболее общего вида (задачи со смешанными ограничениями: равенствами и неравенствами, наличием переменных, свободных от ограничений) могут быть приведены к эквивалентным (имеющим то же множество решений) заменами переменных и заменой равенств на пару неравенств .

Легко заметить, что задачу нахождения максимума можно заменить задачей нахождения минимума, взяв коэффициенты с обратным знаком.

Примеры задач

Максимальное паросочетание

Рассмотрим задачу о максимальном паросочетании в двудольном графе : есть несколько юношей и девушек, причём для каждых юноши и девушки известно, симпатичны ли они друг другу. Нужно поженить максимальное число пар со взаимной симпатией.

Введём переменные , которые соответствуют паре из -го юноши и -й девушки и удовлетворяют ограничениям:

с целевой функцией , где равны 1 или 0 в зависимости от того, симпатичны ли -й юноша и -я девушка друг другу. Можно показать, что среди оптимальных решений этой задачи найдётся целочисленное. Переменные, равные 1, будут соответствовать парам, которые следует поженить.

Максимальный поток

Пусть имеется граф (с ориентированными рёбрами), в котором для каждого ребра указана его пропускная способность. И заданы две вершины: сток и исток. Нужно указать для каждого ребра, сколько через него будет протекать жидкости (не больше его пропускной способности) так, чтобы максимизировать суммарный поток из истока в сток (жидкость не может появляться или исчезать во всех вершинах, кроме истока и стока, соответственно).

Возьмём в качестве переменных — количество жидкости, протекающей через -е ребро. Тогда

где — пропускная способность -го ребра. Эти неравенства надо дополнить равенством количества втекающей и вытекающей жидкости для каждой вершины, кроме стока и истока. В качестве функции естественно взять разность между количеством вытекающей и втекающей жидкости в истоке.

Обобщение предыдущей задачи — максимальный поток минимальной стоимости. В этой задаче даны стоимости для каждого ребра и нужно среди максимальных потоков выбрать поток с минимальной стоимостью. Эта задача сводится к двум задачам линейного программирования: сначала нужно решить задачу о максимальном потоке, а потом добавить к этой задаче ограничение , где — величина максимального потока, и решить задачу с новой функцией — стоимостью потока.

Эти задачи могут быть решены быстрее, чем общими алгоритмами решения задач линейного программирования, за счёт особой структуры уравнений и неравенств.

Транспортная задача

Имеется некий однородный груз, который нужно перевезти с складов на заводов. Для каждого склада известно, сколько в нём находится груза , а для каждого завода известна его потребность в грузе. Стоимость перевозки пропорциональна расстоянию от склада до завода (все расстояния от -го склада до -го завода известны). Требуется составить наиболее дешёвый план перевозки.

Решающими переменными в данном случае являются — количества груза, перевезённого из -го склада на -й завод. Они удовлетворяют ограничениям:

Целевая функция имеет вид: , которую надо минимизировать.

Игра с нулевой суммой

Есть матрица размера . Первый игрок выбирает число от 1 до , второй — от 1 до . Затем они сверяют числа и первый игрок получает очков, а второй очков ( — число, выбранное первым игроком, — вторым). Нужно найти оптимальную стратегию первого игрока.

Пусть в оптимальной стратегии, например, первого игрока число нужно выбирать с вероятностью . Тогда оптимальная стратегия является решением следующей задачи линейного программирования:

в которой нужно максимизировать функцию . Значение в оптимальном решении будет математическим ожиданием выигрыша первого игрока в наихудшем случае.

Алгоритмы решения

Наиболее известным и широко применяемым на практике для решения общей задачи линейного программирования (ЛП) является симплекс-метод . Несмотря на то, что симплекс-метод является достаточно эффективным алгоритмом, показавшим хорошие результаты при решении прикладных задач ЛП, он является алгоритмом с экспоненциальной сложностью . Причина этого состоит в комбинаторном характере симплекс-метода, последовательно перебирающего вершины многогранника допустимых решений при поиске оптимального решения.

Первый полиномиальный алгоритм , метод эллипсоидов , был предложен в 1979 году советским математиком Л. Хачияном , разрешившим таким образом проблему, долгое время остававшуюся нерешённой. Метод эллипсоидов имеет совершенно другую, нежели симплекс-метод, некомбинаторную природу. Однако в вычислительном плане этот метод оказался неперспективным. Тем не менее, сам факт полиномиальной сложности задач привёл к созданию целого класса эффективных алгоритмов ЛП — методов внутренней точки , первым из которых был алгоритм Н. Кармаркара , предложенный в 1984 году . Алгоритмы этого типа используют непрерывную трактовку задачи ЛП, когда вместо перебора вершин многогранника решений задачи ЛП осуществляется поиск вдоль траекторий в пространстве переменных задачи, не проходящих через вершины многогранника. Метод внутренних точек, который, в отличие от симплекс-метода, обходит точки из внутренней части области допустимых значений, использует методы логарифмических барьерных функций нелинейного программирования , разработанные в 1960-х годах Фиако (Fiacco) и МакКормиком (McCormick).

Еще один метод решения ЛП - использование алгоритма Зейделя:

  1. Дана ЛП в канонической форме с переменными и ограничениями, составляющими множество .
  2. Если или , выведи оптимальное базисное решение .
  3. Иначе выбери случайное ограничение и рекурсивно рассчитай оптимальное базисное решение для .
  4. Если оптимальное базисное решение для не нарушает ограничение , верни его.
  5. Иначе рассчитай пересечение полиэдра ЛП с гиперплоскостью и рекурсивно реши получившуюся ЛП с переменной.

Данный метод имеет асимтотическую сложность .

Двойственные задачи линейного программирования

Каждой задаче линейного программирования вида

можно определённым образом сопоставить некоторую другую задачу линейного программирования, называемую двойственной или сопряжённой по отношению к исходной или прямой. Связь исходной и двойственной задач заключается главным образом в том, что решение одной из них может быть получено непосредственно из решения другой. Дадим определение двойственной задачи по отношению к исходной задаче линейного программирования

Исходная задача Двойственная задача

Если вектора и — допустимые решения прямой и двойственной задачи, то , причём равенство достигается тогда и только тогда, когда и — оптимальные решения. Если же целевая функция одной из пары двойственных задач не ограничена (для исходной — сверху, для двойственной — снизу), то область допустимых решений другой задачи — пустая.

Если вектора и — оптимальные решения прямой и двойственной задачи, соответственно, то верны следующие равенства

То есть, для оптимальных решений прямой и двойственной задачи, ненапряженным (выполняется строгое неравенство) ограничениям соответствуют нулевые переменные, а ненулевым переменным (входящим в опорный план) соответствуют напряжённые (нестрогое неравенство реализуется, как равенство) ограничения. Но могут быть и нулевые переменные, соответствующие напряжённым ограничениям.

Эти свойства двойственных решений позволяют существенно сократить время решения, если приходится решать задачу, с числом ограничений много большим количества переменных. Тогда можно, решив двойственную задачу, найти её опорный план, после чего, отобрав в прямой задаче только ограничения, соответствующие опорному плану (все эти ограничения должны быть напряжены), решить для них обычную систему линейных уравнений.

Теорема. Двойственная двойственной задачи ЛП является прямая задача ЛП.

Доказательство: Рассмотрим прямую ЛП вида при условии . Сопоставим ей двойственную ЛП и получим при условии . Приведем ее к другой форме, эквивалентной по смыслу: при условии . Вновь сопоставим ей двойственную ЛП и получим при условии . Приведем ее в эквивалентную форму и получим ЛП идентичную исходной: при условии .

Программное обеспечение

lp_solve — открытое программное обеспечение (лицензия LGPL GNU Стандартная общественная лицензия GNU для библиотек ) для решения линейных уравнений. LpSolve имеет IDE , собственный C API, и множество других программных интерфейсов для Java, AMPL, MATLAB, Wolfram Mathematica, O-Matrix, Sysquake, Scilab, Octave, FreeMat, Euler, Python, Sage, PHP, R и Microsoft Solver Foundation.

См. также

Примечания

  1. Источник: от 5 марта 2022 на Wayback Machine . Методы оптимизации: Учеб. пособие. Бразовская Н. В.; Алтайский государственный технический университет им. И. И. Ползунова, [Центр дистанц. обучения]. — Барнаул: Изд-во АлтГТУ, 2000. — 120 с. — ISBN 5-БНВ-МОр.9.00 — УДК/ББК 22.183.4 Б871.
  2. Дикин И. И. Итеративное решение задач линейного и квадратичного программирования // Докл. АН СССР. — 1967. — Т. 174 , № 4 . — С. 747—748 .
  3. , с. 63.
  4. , с. 80.
  5. , с. 77.
  6. Электронный учебник от 17 июня 2016 на Wayback Machine

Литература

  • Абрамов Л. М., Капустин В. Ф. Математическое программирование. — Учебное пособие. — Л. : ЛГУ, 1981. — 328 с.
  • Акоф Р., Сасиени М. Основы исследования операций. — Пер. с англ. В. Я. Алтаева., под ред. И. А. Ушакова. — М. : Мир, 1971. — 551 с.
  • Акулич И. Л. Глава 1. Задачи линейного программирования, Глава 2. Специальные задачи линейного программирования // Математическое программирование в примерах и задачах. — М. : Высшая школа, 1986. — 319 с. — ISBN 5-06-002663-9 .
  • Астафьев Н. Н. Бесконечные системы линейных неравенств в математическом программировании. — М. : Наука, 1991. — 134 с.
  • Ашманов С. А., Тимохов А. В. Теория оптимизации в задачах и упражнениях. — М. : Наука, 1991. — 446 с.
  • Гасс С. Линейное программирование. — М. : Физико-математическая литература, 1961. — 300 с.
  • Давыдов Э. Г. Исследование операций. — М. : Высшая школа, 1990. — 382 с.
  • Дегтярёв Ю. И. Исследование операций. — Учебник для вузов. — М. : Высшая школа, 1986. — 320 с.
  • Зуховицкий С. И., Авдеева Л. И. Линейное и выпуклое программирование. — М. : Наука, 1966. — 348 с.
  • Карманов В. Г. Математическое программирование. — 3-е издание. — М. : Наука, 1986. — 288 с.
  • Кузнецов А. В., Сакович В. А., Холод Н. И. Высшая математика. Математическое программирование. — Минск.: Вышейшая школа, 1994. — 286 с.
  • Томас Х. Кормен и др. Глава 29. Линейное программирование // Алгоритмы: построение и анализ = Introduction to Algorithms. — 2-е изд. — М. : , 2006. — С. 1296. — ISBN 5-8459-0857-4 .
  • Юдин Д. Б. , Гольштейн Е. Г. Линейное программирование. — М. : Наука, 1969. — 424 с.
  • Данциг Дж. Б. Воспоминания о начале линейного программирования.
  • Габасов Р., Кириллова Ф. М. Методы линейного программирования. — Минск: БГУ, 1977. — 176 с.

Ссылки

  • — Бесплатный оптимизационный пакет, предназначенный для решения задач линейного, целочисленного и целевого программирования.
  • Вершик А. М.
  • Большакова И. В., Кураленко М. В. . (недоступная ссылка с 13-05-2013 [3902 дня])
  • Барсов А. С. // Популярные лекции по математике , Гостехиздат, 1959.
  • Вялый М. Н. . — МЦНМО , 2003.
Источник —

Same as Линейное программирование