Interested Article - Симплекс

Си́мплекс или n -ме́рный тетра́эдр (от лат. simplex ‘простой’) — геометрическая фигура , являющаяся n -мерным обобщением треугольника .

Определение

Симплекс (точнее, n -симплекс, где число n называется размерностью симплекса) — это выпуклая оболочка n + 1 точки аффинного пространства (размерности n или больше), которые предполагаются аффинно независимыми (то есть не лежат в подпространстве размерности n − 1). Эти точки называются вершинами симплекса .

Симплекс может быть охарактеризован как множество всевозможных выпуклых комбинаций своих вершин $A_{i}$ :

\Delta =\left\{\sum _{i=0}^{n}t_{i}A_{i}:\left(\sum _{i=0}^{n}t_{i}=1\right)\wedge (\forall i\;t_{i}\geqslant 0)\right\}.

Связанные определения

Открытым симплексом называется множество всевозможных барицентрических комбинаций своих вершин с положительными коэффициентами (при этом симплекс с теми же вершинами, удовлетворяющий определению из предыдущего раздела, именуют также замкнутым симплексом ; в соответствии с терминологией общей топологии , замкнутый симплекс есть замыкание соответствующего открытого симплекса, а этот открытый симплекс есть открытое ядро замкнутого симплекса) .
Остовом симплекса называется множество всех его вершин .
Рёбрами симплекса называются отрезки, соединяющие его вершины .
Гранями размерности s симплекса называются s -мерные симплексы, остовами которых служат подмножества остова исходного симплекса .
Симплекс называют ориентированным , если его остов представляет собой вполне упорядоченное множество ; при этом считается, что порядки, отличающиеся друг от друга чётной перестановкой вершин, задают одну и ту же ориентацию (под ориентированным 0-симплексом понимается точка, которой приписан знак: «плюс» или «минус») .
Симплекс, лежащий в евклидовом пространстве , называется правильным , если все его рёбра имеют одинаковую длину .

Стандартный симплекс

Зелёный треугольник — стандартный 2-симплекс

Стандартный n -симплекс — это подмножество арифметического пространства $\mathbb {R} ^{n+1}$ , определяемое как

\Delta ^{n}=\left\{(t_{0},\dots ,t_{n}):\left(\sum _{i=0}^{n}t_{i}=1\right)\wedge (\forall i\;t_{i}\geqslant 0)\right\}.

Его вершинами являются точки

e ₀ = (1, 0, …, 0),

e ₁ = (0, 1, …, 0),

…

e _n = (0, 0, …, 1).

Существует взаимно-однозначное отображение стандартного n -симплекса в любой другой n -симплекс Δ с координатами вершин $(v_{0},v_{1},\dots ,v_{n})$ :

(t_{0},\dots ,t_{n})\mapsto \sum _{i}t_{i}v_{i}.

Значения $t_{i}$ для данной точки симплекса Δ называются её барицентрическими координатами .

Свойства

n -мерный симплекс имеет $n+1$ $n+1$ вершин, любые $k+1$ $k+1$ из которых образуют k -мерную грань.
- В частности, число k -мерных граней в n -симплексе равно биномиальному коэффициенту ${\tbinom {n+1}{k+1}}.$
- В частности, число граней старшей размерности совпадает с количеством вершин и равно $n+1$ .
n -симплекса в n -мерном евклидовом пространстве можно определить по формуле

$V={\frac {1}{n!}}\det(v_{1}-v_{0},v_{2}-v_{0},\dots ,v_{n}-v_{0}).$
- позволяет вычислить объём симплекса, зная длины его рёбер:
  
  $V^{2}={\frac {(-1)^{n-1}}{2^{n}(n!)^{2}}}{\begin{vmatrix}0&1&1&1&\dots &1\\1&0&d_{01}^{2}&d_{02}^{2}&\dots &d_{0n}^{2}\\1&d_{10}^{2}&0&d_{12}^{2}&\dots &d_{1n}^{2}\\1&d_{20}^{2}&d_{21}^{2}&0&\dots &d_{2n}^{2}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&d_{n0}^{2}&d_{n1}^{2}&d_{n2}^{2}&\dots &0\\\end{vmatrix}},$

где

d_{ij}=|v_{i}-v_{j}|

— расстояние между i -й и j -й вершинами, n — размерность пространства . Эта формула является обобщением формулы Герона для треугольников.

Объём правильного n -симплекса с единичной стороной равен ${\frac {\sqrt {n+1}}{n!\cdot 2^{n/2}}}$ .

Радиус $R$ описанной n -мерной сферы удовлетворяет соотношению

$(R\cdot V)^{2}=T,$

где

V

— объём симплекса, и

T={\frac {(-1)^{n}}{2^{n+1}{(n!)}^{2}}}{\begin{vmatrix}0&d_{01}^{2}&d_{02}^{2}&\dots &d_{0n}^{2}\\d_{10}^{2}&0&d_{12}^{2}&\dots &d_{1n}^{2}\\d_{20}^{2}&d_{21}^{2}&0&\dots &d_{2n}^{2}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\d_{n0}^{2}&d_{n1}^{2}&d_{n2}^{2}&\dots &0\\\end{vmatrix}}.

Построение

Если размерность пространства равна n , то через любые n его точек можно провести гиперплоскость , и существуют множества из n + 1 точки, через которые гиперплоскость провести нельзя. Таким образом, n + 1 — минимальное число таких точек n -мерного пространства , которые не лежат в одной гиперплоскости; эти точки могут служить вершинами n -мерного многогранника .

Простейший n -мерный многогранник с количеством вершин n + 1 как раз и называется симплексом (принято также название « n -мерный тетраэдр »). В пространствах низшей размерности этому определению соответствуют такие фигуры :

0-симплекс ( точка ) — 1 вершина;
1-симплекс ( отрезок ) — 2 вершины;
2-симплекс ( треугольник ) — 3 вершины;
3-симплекс ( тетраэдр ) — 4 вершины.

Все эти фигуры обладают тремя общими свойствами.

В соответствии с определением, число вершин у каждой фигуры на единицу больше размерности пространства.
Существует общее правило преобразования симплексов низшей размерности в симплексы высшей размерности. Оно заключается в том, что из некоторой точки симплекса проводят луч , не лежащий в аффинной оболочке данного симплекса, и на этом луче выбирают новую вершину, которую соединяют рёбрами со всеми вершинами исходного симплекса.
Как следует из описанной в пункте 2 процедуры, любая вершина симплекса соединена рёбрами со всеми остальными вершинами.

Описанная сфера

Вокруг любого n -симплекса в евклидовом пространстве можно описать n -сферу .

Доказательство

Построение описанной 2-сферы вокруг 1-симплекса с дополнительной точкой

Для 1-симплекса это утверждение очевидно. Описанная 1-сфера будет представлять собой две равноудалённые от центра отрезка точки, совпадающие с концами отрезка, и её радиус будет составлять R = a /2. Добавим к 1-симплексу ещё одну точку и попробуем описать вокруг них 2-сферу.

Построим 2-сферу s ₀ радиусом a /2 таким образом, чтобы отрезок АВ был её диаметром . Если точка С находится за пределами окружности s ₀ , то, увеличивая радиус окружности и смещая её в сторону точки С , можно добиться того, что все три точки окажутся на окружности. Если же точка С лежит внутри окружности s ₀ , то подогнать окружность под эту точку можно, увеличивая её радиус и смещая в сторону, противоположную точке С . Как видно из рисунка, сделать это можно в любом случае, когда точка С не лежит на одной прямой с точками А и В . Не является помехой и несимметричное расположение точки С относительно отрезка АВ .

Рассматривая общий случай, предположим, что существует ( n − 1)-сфера S _n

−1 радиуса r , описанная вокруг некоторой ( n –1)-мерной фигуры. Поместим центр сферы в начало координат. Уравнение сферы будет иметь вид

x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+\dots +x_{n-1}^{2}=r^{2}.\qquad (1)

Построим n -сферу с центром в точке (0, 0, 0, ... 0, h _S ) и радиусом R , причём

R^{2}=r^{2}+h_{S}^{2}.

Уравнение этой сферы

x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+\dots +x_{n-1}^{2}+(x_{n}-h_{S})^{2}=r^{2}+h_{S}^{2},

или

x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+\dots +x_{n-1}^{2}=r^{2}-x_{n}^{2}+2x_{n}h_{S}.\qquad (2)

Подставив в уравнение (2) x _n = 0, получим уравнение (1). Таким образом, при любом h _S сфера S _n

−1 является подмножеством сферы S _n , а именно — её сечением плоскостью x _n = 0.

Предположим, что точка С имеет координаты ( x ₁ , x ₂ , x ₃ , ..., x _n ). Преобразуем уравнение (2) к виду

x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+\dots +x_{n-1}^{2}+x_{n}^{2}=r^{2}+2x_{n}h_{S}

и подставим в него координаты точки С :

X_{1}^{2}+X_{2}^{2}+X_{3}^{2}+\dots +X_{n-1}^{2}+X_{n}^{2}=r^{2}+2X_{n}h_{S}.

Выражение в левой части представляет собой квадрат расстояния R _C от начала координат до точки C , что позволяет привести последнее уравнение к виду

R_{C}^{2}=r^{2}+2X_{n}h_{S},

откуда можно выразить параметр h _S :

h_{S}={\frac {R_{C}^{2}-r^{2}}{2X_{n}}}.

Очевидно, что h _S существует при любых R _C , X _n и r , кроме X _n = 0. Это значит, что если точка С не лежит в плоскости сферы S _n

−1 , всегда можно найти такой параметр h _S , что на сфере S _n c центром (0, 0, 0, ..., h _S ) будут лежать и сфера S _n

−1 , и точка С . Таким образом, вокруг любых n + 1 точек можно описать n -сферу, если n из этих точек лежат на одной ( n − 1)-сфере, и последняя точка не лежит с ними в одной ( n − 1)-плоскости.

Рассуждая по индукции , можно утверждать, что n -сферу можно описать вокруг любых n + 1 точек, если они не лежат в одной ( n − 1)-плоскости.

Число граней симплекса

Симплекс имеет n + 1 вершин, каждая из которых соединена рёбрами со всеми остальными вершинами.

Поскольку все вершины симплекса соединены между собой, то тем же свойством обладает и любое подмножество его вершин. Это значит, что любое подмножество из L + 1 вершин симплекса определяют его L -мерную грань, и эта грань сама является L -симплексом. Тогда для симплекса число L -мерных граней равно числу способов выбрать L + 1 вершину из полного набора n + 1 вершин.

Обозначим символом К ( L , n ) число L -мерных граней в n -многограннике; тогда для n -симплекса

K(L,n)=C_{n+1}^{L+1},

где $C_{n}^{k}$ — число сочетаний из n по k .

В частности, число граней старшей размерности равно числу вершин и равно n + 1:

K(0,n)=K(n-1,n)=n+1.

Соотношения в правильном симплексе

Для правильного n -мерного симплекса обозначим:

$a$ — длина стороны;
$H_{n}$ — высота;
$V_{n}$ — объём;
$R_{n}$ — радиус описанной сферы;
$r_{n}$ — радиус вписанной сферы;
$\alpha _{n}$ — двугранный угол .

Тогда

$H_{n}=a{\sqrt {\frac {n+1}{2n}}}=R_{n}{\frac {n+1}{n}}$
$V_{n}={\frac {a^{n}}{n!}}{\sqrt {\frac {n+1}{2^{n}}}}={\frac {R_{n}^{n}}{n!}}{\sqrt {\left({\frac {n+1}{n}}\right)^{n}}}$
$R_{n}=a{\sqrt {\frac {n}{2(n+1)}}}$
$r_{n}={\frac {a}{\sqrt {2n(n+1)}}}={\frac {R_{n}}{n}}$
$\cos \alpha ={\frac {1}{n}}$
$R_{n}=H_{n}{\frac {n}{n+1}}$
$a^{2}=H_{n}^{2}+R_{n-1}^{2}$
$V_{n}={\frac {1}{n}}V_{n-1}H_{n}$
$r_{n}^{2}=R_{n}^{2}-R_{n-1}^{2}$

Формулы для правильного симплекса

Число L-мерных граней	$K(L,n)={\tbinom {n+1}{L+1}}$
Высота	$H_{n}=a{\sqrt {\frac {n+1}{2n}}}$	$H_{n}=R_{n}{\frac {n+1}{n}}$	$H_{2}=a{\frac {\sqrt {3}}{2}}$	$H_{3}=a{\frac {\sqrt {6}}{3}}$	$H_{4}=a{\frac {\sqrt {10}}{4}}$
Объём	$V_{n}={\frac {a^{n}}{n!}}{\sqrt {\frac {n+1}{2^{n}}}}$	$V_{n}={\frac {R_{n}^{n}}{n!}}{\sqrt {\left({\frac {n+1}{n}}\right)^{n}}}$	$V_{2}=a^{2}{\frac {\sqrt {3}}{4}}$	$V_{3}=a^{3}{\frac {\sqrt {2}}{12}}$	$V_{4}=a^{4}{\frac {\sqrt {5}}{96}}$
Радиус описанной сферы	$R_{n}=a{\sqrt {\frac {n}{2(n+1)}}}$	$a=R_{n}{\sqrt {\frac {2(n+1)}{n}}}$	$R_{2}=a{\frac {\sqrt {3}}{3}}$	$R_{3}=a{\frac {\sqrt {6}}{4}}$	$R_{4}=a{\frac {\sqrt {10}}{5}}$
Радиус вписанной сферы	$r_{n}={\frac {a}{\sqrt {2n(n+1)}}}$	$r_{n}={\frac {R_{n}}{n}}$	$r_{2}=a{\frac {\sqrt {3}}{6}}$	$r_{3}=a{\frac {\sqrt {6}}{12}}$	$r_{4}=a{\frac {\sqrt {10}}{20}}$
Двугранный угол	$\cos \alpha ={\frac {1}{n}}$

Симплексы в топологии

Топологическим симплексом называют подмножество топологического пространства , которое гомеоморфно симплексу некоторого аффинного пространства (или, что то же самое, стандартному симплексу соответствующей размерности). Понятие топологического симплекса лежит в основе теории симплициальных комплексов ( симплициальный комплекс — это топологическое пространство, представленное как объединение топологических симплексов, образующих триангуляцию данного пространства) .

См. также

Примечания

↑ , с. 197—198.
Залгаллер В. А. . Симплекс // / Гл. ред. И. М. Виноградов . — М. : Советская энциклопедия , 1984. 21 января 2022 года. — 1216 стб. — Стб. 1151.
↑ , с. 355.
, с. 198.
, с. 211.
↑ Баладзе Д. О. . Комплекс // / Гл. ред. И. М. Виноградов . — М. : Советская энциклопедия , 1984. 20 ноября 2012 года. — 1104 стб. — Стб. 995—1101.
Рудин У. . Основы математического анализа. 2-е изд. — М. : Мир , 1976. — 319 с. — С. 257—258.
↑ Parks H. R., Wills D. C. . // The American Mathematical Monthly , 2002, 109 (8). — P. 756—758. — doi : .
↑ , с. 200—201.
, с. 353—355.
, с. 201.
Хохлов А. В. . Симплициальное пространство // / Гл. ред. И. М. Виноградов . — М. : Советская энциклопедия , 1984. 21 января 2022 года. — 1216 стб. — Стб. 1168.

Литература

П. С. Александров . Комбинаторная топология. — М. — Л. : ГИТТЛ , 1947. — 660 с.
П. С. Александров . Лекции по аналитической геометрии. — М. : Наука , 1968. — 912 с.
П. С. Александров , Б. А. Пасынков. Введение в теорию размерности. Введение в теорию топологических пространств и общую теорию размерности. — М. : Наука , 1973. — 576 с.
В. Г. Болтянский . Оптимальное управление дискретными системами. — М. : Наука , 1973. — 448 с.
А. И. Кострикин , Ю. И. Манин . Линейная алгебра и геометрия. 2-е изд. — М. : Наука , 1986. — 304 с.
Л. С. Понтрягин . Основы комбинаторной топологии. — М. — Л. : ГИТТЛ , 1947. — 142 с. — С. 23—31.

Ссылки

Симплекс — статья из Большой советской энциклопедии .

[_474519b401eae758-1] , с. 197—198.

[2] Залгаллер В. А. . Симплекс // / Гл. ред. И. М. Виноградов . — М. : Советская энциклопедия , 1984. 21 января 2022 года. — 1216 стб. — Стб. 1151.

[_020c901ce810414a-3] , с. 355.

[_b430d3b33098266f-4] , с. 198.

[_1e227b7b3904af2e-5] , с. 211.

[Baladze-6] Баладзе Д. О. . Комплекс // / Гл. ред. И. М. Виноградов . — М. : Советская энциклопедия , 1984. 20 ноября 2012 года. — 1104 стб. — Стб. 995—1101.

[7] Рудин У. . Основы математического анализа. 2-е изд. — М. : Мир , 1976. — 319 с. — С. 257—258.

[Parks-8] Parks H. R., Wills D. C. . // The American Mathematical Monthly , 2002, 109 (8). — P. 756—758. — doi : .

[_50e9b1ad80d9f133-9] , с. 200—201.

[_85a7f4958c325afb-10] , с. 353—355.

[_a1c3f428c2294c83-11] , с. 201.

[12] Хохлов А. В. . Симплициальное пространство // / Гл. ред. И. М. Виноградов . — М. : Советская энциклопедия , 1984. 21 января 2022 года. — 1216 стб. — Стб. 1168.

Размерность пространства
Пространства по размерности	Нульмерное Одномерное Двумерное Трёхмерное Четырёхмерное n-мерное Отрицательной размерности
Политопы и фигуры	Гиперкуб Тессеракт Гиперпрямоугольник (ортотоп) Полугиперкуб Гиперсфера
Виды пространств	Конечномерное пространство Евклидово пространство Аффинное пространство Проективное пространство Свободный модуль Многообразие Пространство-время
Другие концепции размерностей	Размерность Крулля Размерность Лебега Индуктивная размерность Дробная размерность ( размерность Минковского , размерность Хаусдорфа ) Фрактальная размерность Степени свободы
Математика