Кванти́ли распределе́ния Стью́дента (коэффициенты Стьюдента) — числовые характеристики, широко используемые в задачах математической статистики , таких как построение доверительных интервалов и проверка статистических гипотез .

Определение

Пусть ${\displaystyle F_{n}}$ — функция распределения Стьюдента ${\displaystyle \mathrm {t} (n)}$ с ${\displaystyle n}$ степенями свободы, и ${\displaystyle \alpha \in [0,1]}$ . Тогда ${\displaystyle \alpha }$ - квантилью этого распределения называется число ${\displaystyle t_{\alpha ,n}}$ такое, что

${\displaystyle F_{n}\left(t_{\alpha ,n}\right)=1-\alpha }$ .

Замечания

• Прямо из определения следует, что случайная величина , имеющая распределение Стьюдента с ${\displaystyle n}$ степенями свободы, превышает значение ${\displaystyle t_{\alpha ,n}}$ с вероятностью ${\displaystyle \alpha }$ и не превышает его с вероятностью ${\displaystyle 1-\alpha }$ .
• Функция ${\displaystyle F_{n}}$ строго возрастает для любого ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ . Следовательно, определена её обратная функция ${\displaystyle F_{n}^{-1}}$ , и

${\displaystyle F_{n}^{-1}(1-\alpha )=t_{\alpha ,n}}$ .

• Функция ${\displaystyle F_{n}^{-1}}$ не имеет простого представления. Однако, возможно вычислить её значения численно.
• Распределение ${\displaystyle \mathrm {t} (n)}$ симметрично. Следовательно,

${\displaystyle t_{1-\alpha ,n}=-t_{\alpha ,n}}$ .

Таблица квантилей

Нижеприведённая таблица получена с помощью функции от 5 апреля 2010 на Wayback Machine пакета MATLAB . Чтобы получить значение ${\displaystyle t_{\alpha ,k}}$ , необходимо найти строку, соответствующую нужному ${\displaystyle k}$ , числу степеней свободы, рассчитываемому по формуле ${\displaystyle k=n-1}$ , и колонку, соответствующую нужному ${\displaystyle \alpha }$ . Искомое число находится в таблице на их пересечении. Если необходимо использовать ${\displaystyle \alpha }$ , не приведённое в таблице, то значения можно получить в табличных редакторах (в Excel функия СТЬЮДРАСПОБР; в LibreOffice — TINV). Кроме того, не следует путать запись ${\displaystyle t_{\alpha ,k}}$ и ${\displaystyle t_{p,k}}$ . Во второй записи, которая очень часто приводится в качестве ответа, речь идёт о величине «p=1- ${\displaystyle \alpha }$ ».

Пример

${\displaystyle t_{0,2,4}=1,5332}$ ( ${\displaystyle \alpha }$ =0,2, k=4);

${\displaystyle t_{0,8,4}=0,2707}$ ( ${\displaystyle \alpha }$ =0,8, k=4).

См. также

• Средняя квадратическая погрешность
• Доверительный интервал для математического ожидания нормальной выборки