Равенство классов P и NP Гипотеза Ходжа Гипотеза Пуанкаре (решена) Гипотеза Римана Решение уравнений квантовой теории Янга — Миллса Существование и гладкость решений уравнений Навье — Стокса Гипотеза Бёрча — Свиннертон-Дайера

Задачи тысячелетия — семь математических проблем , определённых Математическим институтом Клэя в 2000 году как «важные классические задачи, решение которых не найдено вот уже в течение многих лет» , за решение каждой из которых обещано вознаграждение в 1 млн долларов США . Существует историческая параллель между задачами тысячелетия и списком проблем Гильберта 1900 года , оказавшим существенное влияние на развитие математики в XX веке; из 23 проблем Гильберта большинство уже решены, и только одна — гипотеза Римана — вошла в список задач тысячелетия.

По состоянию на 2024 год только одна из семи задач тысячелетия ( гипотеза Пуанкаре ) решена .

Решённые задачи

Гипотеза Пуанкаре

Считается наиболее известной проблемой топологии . Неформально говоря, она утверждает, что всякий трёхмерный «объект», обладающий некоторыми свойствами трёхмерной сферы (например, каждая петля внутри него должна быть стягиваема), обязан быть сферой с точностью до деформации .

Премия за доказательство гипотезы Пуанкаре присуждена в 2010 году российскому математику Григорию Перельману , опубликовавшему в 2002 году серию работ, из которых следует справедливость гипотезы, но учёный отказался принять эту премию, как раньше отказался от Филдсовской премии .

Нерешённые задачи

Равенство классов P и NP

Если положительный ответ на какой-то вопрос можно быстро (за полиномиальное время ) проверить (используя некоторую вспомогательную информацию, называемую сертификатом), то верно ли, что и сам ответ (вместе с сертификатом) на этот вопрос можно быстро найти? Задачи второго типа относятся к классу P , первого — к классу NP . Проблема равенства этих классов является одной из важнейших проблем теории алгоритмов .

Гипотеза Ходжа

Важная проблема алгебраической геометрии . Гипотеза описывает классы когомологий на комплексных проективных многообразиях, реализуемые алгебраическими подмногообразиями.

Гипотеза Римана

Гипотеза гласит, что все нетривиальные (то есть имеющие ненулевую мнимую часть) нули дзета-функции Римана имеют действительную часть 1/2. Её доказательство или опровержение будет иметь далеко идущие последствия для теории чисел , особенно в области распределения простых чисел . Гипотеза Римана была восьмой в списке проблем Гильберта . В случае публикации контрпримера к гипотезе Римана учёный совет института Клэя вправе решить, можно ли считать данный контрпример окончательным решением проблемы или же проблема может быть переформулирована в более узкой форме и оставлена открытой (в последнем случае автору контрпримера может быть выплачен небольшой приз) .

Теория Янга — Миллса

Задача из области физики элементарных частиц . Требуется доказать, что для любой простой компактной калибровочной группы ${\displaystyle G}$ квантовая теория Янга — Миллса для пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ (четырёхмерного пространства-времени ) существует и имеет ненулевую спектральную щель . Это утверждение соответствует экспериментальным данным и численному моделированию, однако доказать его до сих пор не удалось.

Существование и гладкость решений уравнений Навье — Стокса

Уравнения Навье — Стокса описывают движение вязкой жидкости. Одна из важнейших задач гидродинамики .

Гипотеза Бёрча — Свиннертон-Дайера

Гипотеза связана с уравнениями эллиптических кривых и множеством их рациональных решений.

Примечания

Ссылки

• (англ.)
• А. М. Вершик
• (англ.)
• Devlin, Keith J. (2002), The Millennium Problems: The Seven Greatest Unsolved Mathematical Puzzles of Our Time , Basic Books, ISBN 0-465-01729-0
• Carlson, James; Jaffe, Arthur; Wiles, Andrew , eds. (2006), The Millennium Prize Problems , Providence, RI: Американское математическое общество и математический институт Клэя , ISBN 978-0-8218-3679-8