Многочле́н (или полино́м , от греч. πολυ- «много» + лат. «имя» ) — фундаментальное понятие в алгебре и математическом анализе . В простейшем случае многочленом называется функция вещественной или комплексной переменной ${\displaystyle x}$ следующего вида :

${\displaystyle P(x)=c_{0}+c_{1}x^{1}+c_{2}x^{2}+\dots +c_{n}x^{n}}$ , где ${\displaystyle c_{i}}$ — фиксированные коэффициенты .

Максимальная степень ${\displaystyle n}$ среди слагаемых- одночленов называется степенью многочлена .

Примеры:

${\displaystyle 7x^{2}+4x-8}$ (многочлен второй степени)

${\displaystyle x^{5}-x}$ (многочлен пятой степени)

В более общем случае многочлен может содержать степени нескольких независимых переменных ${\displaystyle x_{1},x_{2},...x_{n},}$ например:

${\displaystyle x^{2}+11xy-3x+82y+1.}$ Это многочлен от двух переменных ${\displaystyle (x,y)}$ второй степени.

Многочлены как функции можно складывать, перемножать, а в некоторых случая и делить один на другой

Коэффициенты многочлена могут быть не обязательно числовыми .

Многочлены от одной переменной

В этом разделе, если не оговорено иное, под многочленом всюду понимается многочлен от одной переменной.

• Графики многочленов разной степени
• 
  Многочлен 1-й степени
  f(x)= ${\displaystyle 2x+1}$
• 
  Многочлен 2-й степени
  f ( x ) = x ² − x − 2
  = ( x + 1)( x − 2)
• 
  Многочлен 3-й степени
  f ( x ) = x ³ /4 + 3 x ² /4 − 3 x /2 − 2
  = 1/4 ( x + 4)( x + 1)( x − 2)

Основные понятия

Общий вид многочлена от одной переменной ${\displaystyle x}$ :

${\displaystyle P(x)=c_{0}+c_{1}x^{1}+c_{2}x^{2}+\dots +c_{n}x^{n}}$ ,

где ${\displaystyle c_{i}}$ — фиксированные числовые коэффициенты .

Таким образом, многочлен есть сумма одночленов разных степеней. Максимальная степень ${\displaystyle n}$ среди слагаемых-одночленов называется степенью многочлена , а коэффициент ${\displaystyle c_{n}}$ при этом одночлене называется старшим коэффициентом . Степень произведения многочленов равна сумме степеней сомножителей. Одночлен ${\displaystyle c_{0},}$ не содержащий переменной, называется свободным членом многочлена.

Допускается многочлен, вообще не содержащий переменных, то есть числовая константа : ${\displaystyle P(x)=c}$ ; его степень считается равной нулю. Исключением является нулевой многочлен , тождественно равный нулю: ${\displaystyle P(x)=0}$ , его степень не определяется (иногда считается равной ${\displaystyle -1}$ или ${\displaystyle -\infty }$ ) .

Некоторые классы многочленов имеют специальные названия .

• Многочлен первой степени ${\displaystyle P(x)=c_{0}+c_{1}x}$ называется линейным двучленом или биномом .
• Многочлен второй степени из трёх членов ${\displaystyle P(x)=c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}}$ называется квадратным трёхчленом .
• Многочлен третьей степени называется кубическим .
• Многочлен называется приведённым (также нормированным или унитарным ), если его старший коэффициент ${\displaystyle c_{n}}$ равен единице.

Деление многочленов

Определение : говорят, что многочлен ${\displaystyle P(x)}$ делится (нацело) на многочлен ${\displaystyle Q(x),}$ если существует такой многочлен ${\displaystyle G(x),}$ что ${\displaystyle P(x)=Q(x)G(x).}$

Как и при делении целых чисел , ${\displaystyle P(x),Q(x)}$ и ${\displaystyle G(x)}$ называются делимым, делителем и частным соответственно.

Основные свойства деления многочленов (вполне аналогичные свойствам деления целых чисел) .

1. Транзитивность : если ${\displaystyle P(x)}$ делится на ${\displaystyle K(x)}$ и ${\displaystyle K(x)}$ делится на ${\displaystyle Q(x),}$ то ${\displaystyle P(x)}$ делится на ${\displaystyle Q(x).}$
2. Частное от деления ${\displaystyle P(x)}$ на ${\displaystyle Q(x)}$ также является делителем ${\displaystyle P(x).}$
3. Если оба многочлена делятся на ${\displaystyle Q(x),}$ то их сумма и разность также делится на ${\displaystyle Q(x).}$
4. Если ${\displaystyle P(x)}$ делится на ${\displaystyle Q(x),}$ то его произведение на любой другой многочлен также делится на ${\displaystyle Q(x).}$
5. Степень частного равна разности степеней делимого и делителя.
6. Всякий многочлен делится на любой многочлен нулевой степени (то есть на ненулевое число).
7. Многочлены ${\displaystyle P(x)}$ и ${\displaystyle Q(x)}$ делятся друг на друга тогда и только тогда, когда ${\displaystyle P(x)=cQ(x),}$ где ${\displaystyle c}$ — ненулевая константа.

Как и для целых чисел, можно определить понятие наибольшего общего делителя (НОД) двух многочленов ${\displaystyle P(x)}$ и ${\displaystyle Q(x)}$ — это многочлен, который является делителем \как ${\displaystyle P(x),}$ так и ${\displaystyle Q(x)}$ и при этом делится на любой другой общий делитель этих многочленов. НОД всегда существует и определён с точностью до числового множителя. Если степень НОД равна нулю (то есть это число), многочлены ${\displaystyle P(x)}$ и ${\displaystyle Q(x)}$ называются взаимно простыми . Для нахождения НОД можно использовать аналог алгоритма Евклида .

Деление с остатком

Любой многочлен ${\displaystyle P(x)}$ можно разделить на ненулевой многочлен меньшей степени ${\displaystyle Q(x)}$ с остатком , то есть представить его в виде:

${\displaystyle P(x)=Q(x)G(x)+R(x)}$

где степень R(x) (многочлена-остатка) меньше, чем степень делителя ${\displaystyle Q(x).}$ Многочлен ${\displaystyle G(x)}$ называется неполным частным . Многочлены ${\displaystyle G(x)}$ и ${\displaystyle R(x)}$ для заданных ${\displaystyle P(x),Q(x)}$ определены однозначно .

Пример : остаток от деления многочлена ${\displaystyle x^{4}+3x^{3}+7}$ на ${\displaystyle x^{2}+1}$ равен ${\displaystyle (-3x+8)}$ :

${\displaystyle x^{4}+3x^{3}+7=(x^{2}+1)(x^{2}+3x-1)+(-3x+8)}$

Теорема Безу : остаток от деления многочлена ${\displaystyle P(x)}$ на двучлен ${\displaystyle (x-a)}$ равен ${\displaystyle P(a).}$

Корни многочлена

Решения уравнения ${\displaystyle P(x)=0}$ называются корнями (ненулевого) многочлена ${\displaystyle P(x).}$

Свойства .

• Коэффициенты многочлена связаны с его корнями формулами Виета .
• ( Основная теорема алгебры ): всякий отличный от константы многочлен (от одной переменной) с вещественными или комплексными коэффициентами имеет по крайней мере один корень в поле комплексных чисел .
• Всякий отличный от константы многочлен ${\displaystyle P(x)}$ с вещественными коэффициентами может быть разложен в произведение :

— своего старшего коэффициента ${\displaystyle a_{n}}$ ;

— нескольких линейных двучленов вида ${\displaystyle (x-c_{k})}$ где ${\displaystyle c_{k}}$ — вещественные корни ${\displaystyle P(x),}$ если они существуют;

— нескольких приведённых квадратных трёхчленов, соответствующих парам сопряжённых комплексных корней ${\displaystyle P(x),}$ если они существуют.

Это разложение однозначно с точностью до порядка сомножителей.

Пример:

${\displaystyle x^{3}-3x^{2}+5x-15=(x-3)(x^{2}+5)}$

Здесь первая скобка справа соответствует вещественному корню ${\displaystyle x=3,}$ а вторая — паре сопряжённых комплексных корней ${\displaystyle \pm i{\sqrt {5}}.}$

Приводимость и каноническое разложение многочлена

Многочлен называется приводимым , если он является произведением двух многочленов положительных степеней, и неприводимым — в противном случае.

Любой многочлен, кроме нуль-многочлена, над любым полем имеет каноническое разложение в произведение неприводимых множителей, которое однозначно с точностью до порядка сомножителей и константных множителей.

Многочлены от нескольких переменных

Многочлен от нескольких переменных ${\displaystyle \{x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\}}$ — это конечная сумма одночленов вида ::

${\displaystyle ax_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\dots ,x_{n}^{k_{n}}}$ ,

Далее предполагается, что все подобные одночлены объединены, и все коэффициенты при одночленах ненулевые.

Степенью каждого одночлена называется сумма степеней входящих в него переменных, а максимальная степень среди слагаемых-одночленов называется степенью многочлена от нескольких переменных. Коэффициент при этом одночлене называется старшим коэффициентом. Очевидно, степень произведения многочленов равна сумме степеней сомножителей .

Одночлен, не содержащий переменных, называется свободным членом многочлена.

Многочлен, все чле­ны ко­то­ро­го име­ют од­ну и ту же сте­пень, на­зы­ва­ет­ся од­но­род­ным многочленом . или фор­мой ( линейной , квадратичной , кубической и т. д., в зависимости от степени). Например, ${\displaystyle x^{2}+xy+y^{2}}$ — однородный многочлен двух переменных, а ${\displaystyle x^{2}+y+1}$ не является однородным.

Изучение и применение

Изучение полиномиальных уравнений и их решений долгое время составляло едва ли не главный объект «классической алгебры ».

С изучением многочленов исторически связан целый ряд преобразований в математике: введение в рассмотрение нуля , отрицательных , а затем и комплексных чисел , а также появление теории групп как раздела математики и выделение классов специальных функций в математическом анализе . С помощью многочлена вводятся понятия « алгебраическое уравнение », « алгебраическая функция » и « алгебраическое число ».

Одно из важ­ней­ших применений алгебры многочленов связано с тем, что лю­бую не­пре­рыв­ную функ­цию мож­но с про­из­воль­но ма­лой ошиб­кой за­ме­нить на многочлен ( тео­ре­ма Вей­ер­шт­рас­са ). Это по­зво­ля­ет при­бли­жён­но вы­ра­жать мно­го­чле­на­ми ши­ро­кие клас­сы функ­ций .

Многочлены также играют ключевую роль в алгебраической геометрии . Её ключевым объектом являются множества, определённые как решения систем полиномиальных уравнений .

Особые свойства преобразования коэффициентов при перемножении многочленов используются в алгебраической геометрии , алгебре , теории узлов и других разделах математики для кодирования или выражения при помощи многочленов свойств различных объектов.

Вариации и обобщения

Кольцо многочленов

Коэффициенты многочлена обычно берутся из определённого коммутативного кольца ${\displaystyle R}$ (чаще всего поля , например, поля вещественных или комплексных чисел ). В этом случае относительно операций сложения и умножения многочлены образуют кольцо (более того ассоциативно-коммутативную алгебру над кольцом ${\displaystyle R}$ без делителей нуля ), которое обозначается ${\displaystyle R[x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}]}$ .

Понятие многочлена можно определить для произвольного поля, даже нечислового. Множество всех многочленов с коэффициентами из дан­но­го по­ля об­ра­зу­ет коль­цо — кольцо многочленов над дан­ным по­лем; это коль­цо не име­ет де­ли­те­лей ну­ля , то есть про­из­ве­де­ние ненулевых многочленов не мо­жет дать нулевой многочлен .

Многочлен, который можно представить в виде произведения многочленов низших степеней с коэффициентами из того же поля, называется приводимым (над данным полем), в противном случае — неприводимым .

Кольцо многочленов над произвольной областью целостности само является областью целостности.

Кольцо многочленов от любого конечного числа переменных над любым факториальным кольцом само является факториальным.

Роль неприводимых многочленов в кольце многочленов сходна с ролью простых чисел в кольце целых чисел . Например, верна теорема: если произведение многочленов ${\displaystyle pq}$ делится на неприводимый многочлен ${\displaystyle \lambda }$ , то p или q делится на ${\displaystyle \lambda }$ . Каждый многочлен степени большей нуля разлагается в данном поле в произведение неприводимых множителей единственным образом (с точностью до множителей нулевой степени).

Например, многочлен ${\displaystyle x^{4}-2}$ , неприводимый в поле рациональных чисел , разлагается на три множителя в поле вещественных чисел и на четыре множителя в поле комплексных чисел.

Вообще, каждый многочлен от одного переменного ${\displaystyle x}$ разлагается в поле вещественных чисел на множители первой и второй степени, в поле комплексных чисел — на множители первой степени ( основная теорема алгебры ).

Для двух и большего числа переменных этого уже нельзя утверждать. Над любым полем для любого ${\displaystyle n>2}$ существуют многочлены от ${\displaystyle n}$ переменных, неприводимые в любом расширении этого поля. Такие многочлены называются абсолютно неприводимыми.

Кольцо многочленов от одного переменного над полем является кольцом главных идеалов , то есть любой его идеал может быть порождён одним элементом. Более того, кольцо многочленов от одного переменного над полем является евклидовым кольцом .

Если в определении допустить также отрицательные степени переменных, то полученный объект называется Многочлен Лорана .

Полиномиальная функция

Пусть ${\displaystyle A}$ — алгебра над кольцом ${\displaystyle R.}$ Произвольный многочлен ${\displaystyle p(x)\in R[x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}]}$ определяет полиномиальную функцию

${\displaystyle p_{R}\colon A\to A.}$

Чаще всего рассматривают случай ${\displaystyle A=R.}$

В случае, если ${\displaystyle R}$ — поле вещественных или комплексных чисел (или любое другое поле с бесконечным числом элементов ), функция ${\displaystyle f_{p}\colon R^{n}\to R}$ полностью определяет многочлен p . Однако в общем случае это неверно, например: многочлены ${\displaystyle p_{1}(x)\equiv x}$ и ${\displaystyle p_{2}(x)\equiv x^{2}}$ из ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}[x]}$ определяют тождественно равные функции ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\to \mathbb {Z} _{2}}$ .

Полиномиальная функция одного действительного переменного называется целой рациональной функцией .

См. также

• Базис Грёбнера
• Квазимногочлен
• Позином
• Сплайн
• Степенной ряд
• Теорема Гаусса — Люка
• Теорема о рациональных корнях .
• Тригонометрический многочлен

Примечания

Литература

• Винберг Э. Б. Алгебра многочленов. — М. : Просвещение, 1980. — 176 с.
• Курош А. Г. Курс высшей алгебры. — 9-е изд. — М. : Наука, 1968.
• Мишина А. П., Проскуряков И. В. Высшая алгебра, 2 изд. — М. , 1965.
• Прасолов В. В. Многочлены. — 3-е изд. — М. : МЦНМО , 2003. — 336 с. — ISBN 5-94057-077-1 .
• Солодовников А. С, Родина М. А. Задачник-практикум по алгебре. — М. : Просвещение, 1985. — 127 с.
• Фаддеев Д. К ., Соминский И. С. Сборник задач по высшей алгебре. — М. , 1977.
• Цыпкин А. Г. Справочник по математике для средних учебных заведений. — 3-е изд.. — М. : Наука, 1983. — 480 с.

Ссылки

• / Маркушевич А. И. // Большая российская энциклопедия : [в 35 т.] / гл. ред. Ю. С. Осипов . — М. : Большая российская энциклопедия, 2004—2017.