Interested Article - Теорема о движении центра масс системы

Теоре́ма о движе́нии це́нтра масс (це́нтра ине́рции) системы — одна из теорем динамики , следствие законов Ньютона . Утверждает, что ускорение центра масс системы не зависит от внутренних сил взаимодействия между телами системы, и связывает это ускорение с внешними силами, действующими на систему .

Системой, о которой идёт речь в теореме, может являться любая механическая система, например, совокупность материальных точек , протяжённое тело или совокупность протяжённых тел.

Стандартная формулировка теоремы

Нередко при рассмотрении движения системы полезно знать закон движения её центра масс. В общем случае этот закон, составляющий содержание теоремы о движении центра масс, формулируется следующим образом :

Произведение массы системы на ускорение её центра масс равно геометрической сумме всех действующих на систему внешних сил .

Доказательство

Пусть система состоит из материальных точек с массами и радиус-векторами . Центром масс (центром инерции) называется геометрическая точка, радиус-вектор которой удовлетворяет равенству

где — масса всей системы, равная

Дифференцируя два раза по времени, для ускорения центра масс получаем:

где — ускорение материальной точки с номером i .

Для последующего рассмотрения разделим все силы, действующие на тела системы, на два типа:

  • внешние — силы, действующие со стороны тел, не входящих в рассматриваемую систему. Равнодействующую внешних сил, действующих на материальную точку с номером i , обозначим ;
  • внутренние — силы, с которыми взаимодействуют друг с другом тела само́й системы. Силу, с которой на точку с номером i действует точка с номером k , будем обозначать . Соответственно, сила воздействия i -й точки на k -ю точку будет обозначаться . Для будет

Используя введённые обозначения, второй закон Ньютона для каждой из рассматриваемых материальных точек можно записать в виде

Просуммировав такие уравнения для всех i , получим:

Выражение представляет собой сумму внутренних сил, действующих в системе. Учтём теперь, что по третьему закону Ньютона в этой сумме каждой силе соответствует сила такая, что и, значит, выполняется Поскольку вся сумма состоит из таких пар, сама сумма равна нулю. Таким образом,

Далее, обозначив и подставив полученное выражение в равенство для , приходим к уравнению

или

Таким образом, движение центра масс определяется только внешними силами, а внутренние силы никакого влияния на это движение оказать не могут. Последняя формула и является математическим выражением теоремы о движении центра масс системы.

Альтернативная формулировка теоремы

Вид итоговой формулы для в точности тот же, что и у формулы второго закона Ньютона. Отсюда следует справедливость такой формулировки теоремы о движении центра масс :

Центр масс движется так, как двигалась бы материальная точка, масса которой равна массе системы, под действием силы, равной сумме всех внешних сил, действующих на систему.

Закон сохранения движения центра масс

В отсутствие внешних сил, а также при равенстве суммы всех внешних сил нулю, ускорение центра масс равно нулю, и, значит, его скорость постоянна. Таким образом, справедливо утверждение, составляющее содержание закона сохранения движения центра масс:

Если сумма внешних сил, действующих на систему, равна нулю, то центр масс такой системы движется с постоянной скоростью, т. е. равномерно и прямолинейно.

В частности, если первоначально центр масс покоился, то в указанных условиях он будет покоиться и в дальнейшем.

Из закона сохранения движения центра масс следует, что система отсчёта, связанная с центром масс замкнутой системы, является инерциальной. Использование таких систем отсчёта при изучении механических свойств замкнутых систем предпочтительно, поскольку таким образом исключается из рассмотрения равномерное и прямолинейное движение системы как целого.

Возможны случаи, когда сумма внешних сил нулю не равна, но равна нулю её проекция на какое-либо направление. В этом случае проекция ускорения центра масс на это направление также равна нулю и, соответственно, скорость центра масс вдоль этого направления не изменяется.

Значимость теоремы

Доказанная теорема расширяет и обосновывает возможности использования понятия материальная точка для описания движения тел. Действительно, если тело движется поступательно, то его движение полностью определяется движением центра масс, которое в свою очередь описывается полученным уравнением для . Таким образом, поступательно движущееся тело всегда возможно рассматривать как материальную точку с массой, равной массе тела, независимо от его геометрических размеров. Кроме того, тело можно рассматривать как материальную точку и во всех тех случаях, когда в силу условий задачи вращение тела интереса не представляет, а для определения положения тела достаточно знать положение его центра масс.

Практическая ценность теоремы состоит в том, что при решении задачи об определении характера движения центра масс она позволяет полностью исключить из рассмотрения все внутренние силы.

История

Закон сохранения движения центра масс сформулировал Исаак Ньютон в своём знаменитом труде « Математические начала натуральной философии », изданном в 1687 году . И. Ньютон писал: «Центр тяжести системы двух или нескольких тел от взаимодействия тел друг на друга не изменяет ни своего состояния покоя, ни движения; поэтому центр тяжести системы всех действующих друг на друга тел (при отсутствии внешних действий и препятствий) или находится в покое, или движется равномерно и прямолинейно» . Далее он делал вывод: «Таким образом, поступательное количество движения отдельного ли тела или системы тел, надо всегда рассчитывать по движению центра тяжести их» .

См. также

Примечания

  1. Тарг С. М. Краткий курс теоретической механики. — М. : Высшая школа, 1995. — С. 273-280. — 416 с. — ISBN 5-06-003117-9 .
  2. Сивухин Д. В. Общий курс физики. — М. : Физматлит; Изд-во МФТИ, 2005. — Т. I. Механика. — С. 115-116. — 560 с. — ISBN 5-9221-0225-7 .
  3. Тарг С. М. // Физическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. А. М. Прохоров . — М. : Большая российская энциклопедия , 1999. — Т. 5: Стробоскопические приборы — Яркость. — С. 624-625. — 692 с. — 20 000 экз. ISBN 5-85270-101-7 .
  4. Исаак Ньютон . Математические начала натуральной философии = Philosophia naturalis principia matematica / Перевод с латинского и примечания А. Н. Крылова . — М. : Наука, 1989. — С. 45-49. — 688 с. — (Классики науки). — ISBN 5-02-000747-1 .
Источник —

Same as Теорема о движении центра масс системы