Interested Article - Символы Шёнфлиса

Символы Шёнфлиса — одно из обозначений точечных групп симметрии , наряду с символами Германа — Могена . Предложены немецким математиком Артуром Шёнфлисом в книге «Kristallsysteme und Kristallstruktur» в 1891. Могут также использоваться для обозначения пространственных групп (трёхмерной кристаллографической группы ).

Обозначение точечных групп

При точечной симметрии хотя бы одна точка сохраняет своё положение. Точечные группы симметрии в трёхмерном пространстве можно разделить на несколько семейств. В символах Шёнфлиса они описываются следующим образом:

С _n , циклические группы — группы с единственным особым направлением, представленным поворотной осью симметрии , — обозначаются буквой С , с нижним цифровым индексом n , соответствующим порядку этой оси.

C _nv (от нем. vertical — вертикальный) — группы с n вертикальными плоскостями симметрии, расположенными вдоль оси симметрии, которая всегда мыслится вертикальной.
C _nh (от нем. horisontal — горизонтальный) — группы c горизонтальной плоскостью симметрии , перпендикулярной к оси симметрии.

S _2n (от нем. spiegel — зеркало) — группы с единственной зеркальной осью симметрии. Индекс оси всегда чётный, так как при нечётном индексе зеркальная ось является просто комбинацией оси симметрии и перпендикулярной к ней плоскости, то есть S _n = C _nh для нечётного n .

C _s — для плоскости неопределённой ориентации, то есть не фиксированной ввиду отсутствия в группе иных элементов симметрии.

С _ni — группы с единственной инверсионной осью симметрии сопровождаются нижним индексом i . Как правило, используется только С _i (для n = 1), но иногда в литературе встречаются обозначения типа С _3i , С _5i .
D _n — является группой С _n с дополнительными n осями симметрии второго порядка, перпендикулярными исходной (главной) оси.

D _nh — также имеет горизонтальную и n вертикальных плоскостей симметрии.
D _nd (от нем. diagonal — диагональный) — также имеет n вертикальных плоскостей симметрии, идущих по диагонали между горизонтальными осями второго порядка.

Группа D ₂ иногда раньше обозначалась как V (от нем. Vierergruppe — четверная группа ), а группы D _2h и D _2d как V _h и V _d , соответственно.

T, O, I — группы симметрии с несколькими осями высшего порядка (порядок оси n больше или равен 3). Добавление индекса h указывает на наличие горизонтальной плоскости и, как следствие, вертикальных плоскостей симметрии и центра инверсии. Добавление индекса d к группе T указывает на наличие диагональных плоскостей симметрии. Отличие группы T _d от T _h в том, что первая не содержит центра инверсии, а вторая содержит, зато T _d содержит три инверсионных оси четвёртого порядка, в то время как в T _h таких осей нет.

T , T _h , T _d - совокупность поворотных осей в тетраэдре (только поворотные оси 2-го и 3-го порядков).
O , O _h - совокупность поворотных осей в октаэдре или кубе (поворотные оси 2-го, 3-го и 4-го порядков).
I , I _h - совокупность поворотных осей в икосаэдре или додекаэдре (поворотные оси 2-го, 3-го и 5-го порядков).

Иногда икосаэдрические группы I и I _h обозначаются как Y и Y _h .

Группы, в которых не более одной оси высшего порядка, можно расположить в следующей таблице

n	1	2	3	4	5	6	7	8	...	$\infty$
C _n	C ₁	C ₂	C ₃	C ₄	C ₅	C ₆	C ₇	C ₈	…	C _∞
C _nv	C _1v = C _s	C _2v	C _3v	C _4v	C _5v	C _6v	C _7v	C _8v	…	C _∞v
C _nh	C _1h = C _s	C _2h	C _3h	C _4h	C _5h	C _6h	C _7h	C _8h	…	C _∞h
S _n	S ₁ = C _s	S ₂ = C _i	S ₃ = C _3h	S ₄	S ₅ = C _5h	S ₆	S ₇ = C _7h	S ₈	…	S _∞ = C _∞h
C _ni	C _1i = C _i	C _2i = C _s	C _3i = S ₆	C _4i = S ₄	C _5i = S ₁₀	C _6i = C _3h	C _7i = S ₁₄	C _8i = S ₈	…	C _∞i = C _∞h
D _n	D ₁ = C ₂	D ₂ = V	D ₃	D ₄	D ₅	D ₆	D ₇	D ₈	…	D _∞
D _nh	D _1h = C _2v	D _2h = V _h	D _3h	D _4h	D _5h	D _6h	D _7h	D _8h	...	D _∞h
D _nd	D _1d = C _2h	D _2d = V _d	D _3d	D _4d	D _5d	D _6d	D _7d	D _8d	…	D _∞d = D _∞h

Бордовым цветом отмечены не употребляемые варианты обозначений групп.

В кристаллографии из-за наличия трансляционной симметрии кристаллической структуры n может принимать только значения 1, 2, 3, 4 и 6. Некристаллографические точечные группы даны на сером фоне. D _4d и D _6d также являются некристаллографическими, так как содержат зеркальные оси порядка 8 и 12, соответственно. 27 кристаллографических точечных групп из таблицы и пять групп T , T _d , T _h , O и O _h составляют все 32 кристаллографические точечные группы симметрии .

Группы с $n=\infty$ называются или группами Кюри . К ним относятся ещё две группы, не представленные в таблице. Это группа всех возможных вращений вокруг всех осей проходящих через точку, K (от нем. Kugel — шар) — группа вращений, а также группа K _h , которая описывает симметрию шара — максимально возможную точечную симметрию в трёхмерном пространстве; все точечные группы являются подгруппами группы K _h . Иногда эти группы обозначаются также R(3) (от англ. rotation — вращение) и R _h (3) . В математике и теоретической физике их обычно обозначают как SO(3) и O(3) ( специальная ортогональная группа в трёхмерном пространстве и ортогональная группа в трёхмерном пространстве).

Обозначение пространственных групп

Если в пространственной группе убрать трансляционные компоненты (то есть убрать трансляции и заменить винтовые оси на обычные оси, а плоскости скользящего отражения на зеркальные плоскости), то получится соответствующая пространственной группе точечная группа — одна из 32-х кристаллографических точечных групп . Символ Шёнфлиса пространственной группы образуется из символа соответствующей точечной группы с дополнительным верхним цифровым индексом, так как обычно одной точечной группе соответствует сразу несколько пространственных групп (максимум — 28 пространственных групп для группы D _2h ). При этом индекс не даёт никакой дополнительной информации об элементах симметрии группы, а просто связан с тем, в какой последовательности Шёнфлис выводил 230 пространственных групп . Таким образом, символ Шёнфлиса для пространственной группы не только ничего не говорит об ориентации элементов симметрии по отношению к осям ячейки, но даже не даёт информации о центрировке ячейки и трансляционной составляющей осей и плоскостей симметрии. Чтобы получить полную информацию о пространственной группе из символа Шёнфлиса, надо пользоваться таблицей, в которой сопоставлены эти символы символам Германа-Могена . Например, такая таблица дана в или .

См. также

Внешние ссылки

Литература

Ю. Г. Загальская, Г. П. Литвинская, Геометрическая кристаллография, МГУ, 1973
Ю. К. Егоров-Тисменко, Г. П. Литвинская, Ю. Г. Загальская, Кристаллография, МГУ, 1992
Ю. К. Егоров-Тисменко, Г. П. Литвинская, Теория симметрии кристаллов, ГЕОС, 2000 (доступно on-line )
П. М. Зоркий. Симметрия молекул и кристаллических структур, МГУ, 1986 (доступно on-line )
Р. Фларри, Группы симметрии. Теория и химические приложения, М.: Мир, 1983
И. Харгитаи, Симметрия глазами химика. - М.: Мир, 1991 (страница 99)

Примечания

(неопр.) . Дата обращения: 3 октября 2017. 24 июля 2017 года.
(неопр.) . Дата обращения: 18 ноября 2011. 23 февраля 2008 года.

.

[1] (неопр.) . Дата обращения: 3 октября 2017. 24 июля 2017 года.

[2] (неопр.) . Дата обращения: 18 ноября 2011. 23 февраля 2008 года.