Бенжаме́н Оли́нд Родри́г ( фр. Benjamin Olinde Rodrigues ; 6 октября 1795 ( 1795-10-06 ) , Бордо — 17 декабря 1851 , Париж ) — французский математик , механик и экономист , последователь социалиста-утописта А. Сен-Симона .

Биография

Родился 6 октября 1795 г. в Бордо , в зажиточной сефардской семье . Окончил Высшую нормальную школу в Париже .

28 июня 1815 г. защитил в Парижском университете докторскую диссертацию по математике (важнейшие результаты её, включая формулу для многочленов Лежандра , известную ныне как формула Родрига , были опубликованы в статье «О притяжении сфероидов» в 1816 г.) . После защиты работал в Политехнической школе репетитором, затем (приобретя в результате брокерских операций на бирже значительное состояние) стал в 1823 г. директором ссудного банка .

В 1817 г. Родриг женился на Эфрази ( Euphrasie ), урождённой Викторине Дениз Мартен ( Victorine Denise Marten ); у них было четверо детей — два сына и две дочери .

В последние годы жизни графа Анри де Сен-Симона Родриг входил в число наиболее ревностных его учеников. После смерти Сен-Симона (скончавшегося 19 мая 1825 г. у Родрига на руках) последний собрал вместе всех учеников графа, которые решили не расставаться и продолжать его дело. Так возникло движение сенсимонистов , во главе которого первоначально — как ближайший ученик Сен-Симона — стоял Родриг, опубликовавший ряд работ по вопросам политики, экономики и социальных реформ . В 1825—1826 гг. он (наряду с С.-А. Базаром ) был редактором первого сенсимонистского журнала «Le Producteur» .

Однако 31 декабря 1829 г. Родриг передал руководство делами движения П. Анфантену и С.-А. Базару , принимавшими наибольшее участие в разработке доктрины сенсимонизма , а в феврале 1832 г. вообще ушёл из сенсимонистской общины (что неблагоприятно отразилось на её положении, поскольку именно Родриг ранее заправлял всеми её денежными делами). Разрыв был вызван принципиальными разногласиями с Анфантеном, который, будучи провозглашён «Верховным Отцом», фактически превратил движение в узкую религиозную секту и активно проповедовал весьма радикальные взгляды на отношения между полами (совершенно неприемлемые для Родрига, для которого брак с Эфрази был основой всей его жизни). Впрочем, расставшись с сенсимонистским движением, Родриг оставался верным социалистическим идеалам до самой смерти .

В 1840-е гг. Родриг активно выступал в печати в поддержку рабочего движения и за упразднение рабства; приветствовал Революцию 1848 года . Умер он в Париже 17 декабря 1851 г. и был похоронен на кладбище Пер-Лашез .

Научная деятельность

Основные работы Родрига относятся к механике , геометрии и теории чисел .

Исследования по геометрии

В 1815 г. Родриг доказал важную теорему теории поверхностей — теорему Родрига , по которой необходимым и достаточным условием того, что направление является главным , служит выполнение для дифференциала радиус-вектора ${\displaystyle \mathbf {r} }$ точки поверхности в этом направлении условия

${\displaystyle {\rm {d}}\mathbf {n} \;=\;-k\,{\rm {d}}\mathbf {r} \,\,,}$

где ${\displaystyle \mathbf {n} }$ — вектор единичной нормали, ${\displaystyle k}$ — нормальная кривизна поверхности в рассматриваемом направлении (приведённое условие сам Родриг записывал в координатной форме).

В 1816 г. Родриг в уже упоминавшейся статье «О притяжении сфероидов» опубликовал полученную им для многочленов Лежандра формулу ( формула Родрига ), дающую явное выражение для этих многочленов Данная формула для многочлена Лежандра степени ${\displaystyle n}$ может быть записана так:

${\displaystyle P_{n}(x)\;=\;{\frac {1}{2^{n}n!}}\,\,{\frac {{\rm {d}}^{n}}{{\rm {d}}x^{n}}}\,(x^{2}-1)^{n}\,\,.}$

Исследования по механике

Изучение принципа Лагранжа

В 1816 г. Родриг опубликовал заметку «О способе применения принципа наименьшего действия для вывода уравнений движения, отнесённых к независимым переменным» , посвящённую исследованию принципа наименьшего действия в формулировке Лагранжа. В ней Родриг впервые явно оговорил асинхронный характер варьирования переменных в принципе Лагранжа. Проблему существования условного экстремума интеграла действия в форме Лагранжа Родриг свёл к задаче нахождения безусловного экстремума функционала , в котором подынтегральная функция записывается как сумма удвоенной кинетической энергии ${\displaystyle T}$ механической системы и умноженного на неопределённый множитель Лагранжа ${\displaystyle \lambda }$ выражения ${\displaystyle T+\Pi -h}$ (где ${\displaystyle \Pi }$ — потенциальная энергия , ${\displaystyle h}$ — постоянная в интеграле энергии). Такое исследование Родриг провёл для случая системы свободных материальных точек и получил при этом уравнения движения системы; позднее Ф. А. Слудский распространил данное исследование на случай системы со стационарными связями .

Формула поворота Родрига

В 1840 г. Родриг в статье «О геометрических законах, управляющих перемещениями неизменяемой системы в пространстве, и об изменении координат, обусловленном этими перемещениями, рассматриваемыми независимо от причин, которые могут их вызывать» доказал формулу поворота Родрига . Эта формула, которая приводится здесь в современной векторной записи, описывает изменение положения точки абсолютно твёрдого тела после его поворота на конечный угол ${\displaystyle \varphi }$ вокруг неподвижной оси с единичным вектором ${\displaystyle \mathbf {e} }$ .  Если ${\displaystyle O}$ — взятый на оси поворота полюс, ${\displaystyle \mathbf {r} ={\overline {OA}}}$ и ${\displaystyle \mathbf {r\,'} ={\overline {OA\,'}}}$ — радиус-векторы начального и конечного положений точки, то формула поворота Родрига записывается в виде:

${\displaystyle (*)\qquad \mathbf {r\,'} \;=\;\,\mathbf {r} \,+\,{\frac {2}{1+\theta ^{\,2}}}\,{\bigl [}\,{\boldsymbol {\theta }},\,\mathbf {r} +[\,{\boldsymbol {\theta }},\,\mathbf {r} \,]{\bigr ]}\,\,,}$

где квадратные скобки обозначают операцию векторного умножения , а ${\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}}$ — вектор конечного поворота , определяемый формулой

${\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}\;=\;\mathbf {e} \,\theta \,\;\equiv \;\mathbf {e} \,\,{\rm {tg}}\,{\frac {\varphi }{2}}\,\,.}$

Формула ${\displaystyle (*)}$ не может быть непосредственно использована для численных расчётов в случае, когда тело совершает полуоборот ). Если при движении твёрдого тела подобные повороты не исключаются, применяют другой — менее компактный — вариант формулы поворота Родрига, в котором вместо вектора конечного поворота ${\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}}$ фигурируют непосредственно угол ${\displaystyle \varphi }$ и единичный вектор ${\displaystyle \mathbf {e} }$ :

${\displaystyle (**)\qquad \mathbf {r\,'} \;=\;\,\mathbf {r} \,+\,(1-\cos {\varphi })\,{\bigl [}\,\mathbf {e} ,\,[\,\mathbf {e} ,\,\mathbf {r} \,]{\bigr ]}\,+\,\sin {\varphi }\,\,[\,\mathbf {e} ,\,\mathbf {r} \,]\,\,.}$

Параметры Родрига — Гамильтона

В той же работе 1840 года Родриг применил для описания изменения ориентации твёрдого тела набор из четырёх скалярных параметров, определяемых следующим образом:

${\displaystyle \lambda _{0}\;=\;e_{0}\,\sin {\frac {\varphi }{2}}\,,\;\;\lambda _{1}\;=\;e_{1}\,\sin {\frac {\varphi }{2}}\,,\;\;\lambda _{2}\;=\;e_{2}\,\sin {\frac {\varphi }{2}}\,,\;\;\lambda _{3}\;=\;\cos {\frac {\varphi }{2}}\,\,,}$

где ${\displaystyle e_{0},\,e_{1},\,e_{2}}$ — направляющие косинусы оси поворота  (т.е. компоненты вектора ${\displaystyle \mathbf {e} }$ )  в декартовой системе координат ${\displaystyle Oxyz}$ .  Данные параметры удовлетворяют условию

${\displaystyle \lambda _{0}^{2}+\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2}\;=\;1\,\,,}$

а компоненты вектора конечного поворота ${\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}}$ выражаются через них так:

${\displaystyle \theta _{0}\;=\;{\frac {\lambda _{0}}{\lambda _{3}}},\;\;\theta _{1}\;=\;{\frac {\lambda _{1}}{\lambda _{3}}},\;\;\theta _{2}\;=\;{\frac {\lambda _{2}}{\lambda _{3}}}\,\,.}$

Ныне эти параметры называют параметрами Эйлера или параметрами Родрига — Гамильтона . Разнобой в терминологии объясняется так : впервые данные параметры были введены Эйлером в 1770 г., но соответствующая работа Эйлера внимания математиков не привлекла; Родриг, переоткрывший их (о работе Эйлера он не знал) в 1840 г., уже умел — в отличие от Эйлера — вычислять значения этих параметров для суперпозиции двух поворотов вокруг различных осей; Гамильтон же в 1853 г. дал им чёткую интерпретацию в рамках разрабатывавшейся им начиная с 1843 года теории кватернионов (оказалось, что они представляют собой компоненты кватерниона поворота , а суперпозиции двух поворотов отвечает кватернионное произведение соответствующих кватернионов поворота).

При нахождении указанной суперпозиции полезным оказывается впервые доказанное Родригом следующее утверждение (ныне известное как теорема Родрига — Гамильтона ):  три последовательных поворота вокруг трёх неподвижных прямых, проходящих через одну точку, на углы, равные соответственно удвоенным углам между плоскостями, образуемыми данными прямыми, возвращают тело в исходную конфигурацию.

Публикации

• Rodrigues O. De la manière d'employer le principe de la moindre action, pour obtenir les équations du mouvement rapportées aux variables indépendantes // Correspondance sur l’École Impériale Polytechnique. — 1816. — Vol. 3 (2). — P. 159—162.
• Rodrigues O. // Correspondance sur l’École Impériale Polytechnique. — 1816. — Vol. 3 (3). — P. 361—385.
• Rodrigues O. // Liouvillés Journ. Math.. — 1840. — Vol. 5. — P. 380—440.

См. также

• Сенсимонизм

Примечания

Литература

• Боголюбов А. Н. Математики. Механики. Биографический справочник. — Киев: Наукова думка , 1983. — 639 с.
• Виттенбург Й. Динамика систем твёрдых тел. — М. : Мир , 1980. — 292 с.
• Голубев Ю. Ф. Основы теоретической механики. 2-е изд. — М. : Изд-во Моск. ун-та, 2000. — 719 с. — ISBN 5-211-04244-1 .
• Диментберг Ф. М. Теория винтов и её приложения. — М. : Наука , 1978. — 328 с.
• История механики в России / Под ред. А. Н. Боголюбова , И. З. Штокало . — Киев: Наукова думка , 1987. — 392 с.
• Altmann S. L., Ortiz E. L. (eds.) . — Providence (Rhode Island): American Mathematical Society, 2005. — ISBN 0-8218-3860-1 .

Ссылки

• Статья « » на сайте потомков Моисея Родригеса-Энрикеса (жил в XVII веке)