Тео́рия Мо́рса — математическая теория, разработанная в 1920-е — 1930-е годы Марстоном Морсом , связывающая алгебро-топологические свойства многообразий и поведение гладких функций на нём в критических точках .

Одно из исторически первых применений методов дифференциальной топологии в анализе . Морс называл теорию «вариационным исчислением в целом» ( англ. variation calculus in large ), при этом начиная 1960-х годов с обобщением результатов на бесконечномерные многообразия теория Морса стала считаться подразделом глобального анализа — анализа на многообразиях . В свою очередь, в работах Рауля Ботта второй половины 1950-х годов методы теории Морса применены к чисто топологическим задачам, и полученные результаты (прежде всего, ) во многом послужили фундаментом для самостоятельного раздела математики — K-теории .

Выделяются три основных последовательно развившихся направления теории Морса: классическая теория критических точек на гладком многообразии , теория Морса для геодезических на римановом многообразии , явившаяся применением построений классической теории, и теория Морса на , естественно продолжающая теорию геодезических и являющаяся непосредственным обобщением классической теории .

Теория критических точек на гладком многообразии

Ключевой результат теории критических точек на гладком многообразии — лемма Морса , описывающая поведение вещественной функции на многообразии ${\displaystyle f:M\to \mathbb {R} }$ в невырожденной критической точке ${\displaystyle b\in M}$ : согласно лемме, существует карта ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}$ для окрестности ${\displaystyle U\ni b}$ , такая что ${\displaystyle x_{i}(b)=0}$ для всех ${\displaystyle i}$ и на всей ${\displaystyle U}$ имеет место:

${\displaystyle f(x)=f(b)-x_{1}^{2}-\cdots -x_{\alpha }^{2}+x_{\alpha +1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}$ .

(Здесь ${\displaystyle \alpha }$ — индекс ${\displaystyle f}$ в точке ${\displaystyle b}$ .) Обобщение леммы на гильбертовы пространства — .

Другой важный результат связан с применением перестройки Морса : если множество ${\displaystyle f^{-1}([a,b])}$ компактно, не пересекается с краем многообразия ${\displaystyle M}$ и содержит ровно одну критическую точку, имеющую индекс Морса ${\displaystyle k}$ , то ${\displaystyle f^{-1}(b)}$ диффеоморфно многообразию, полученному из ${\displaystyle f^{-1}(a)}$ приклеиванием ручки индекса ${\displaystyle k}$ .

Каждой функции Морса ${\displaystyle f}$ на гладком многообразии ${\displaystyle M}$ без края (такой, что все множества ${\displaystyle f^{-1}(a)}$ компактны) отвечает гомотопически эквивалентный многообразию ${\displaystyle M}$ CW-комплекс , клетки которого находятся во взаимно-однозначном соответствии с критическими точками функции ${\displaystyle f}$ , причём размерность клетки равна соответствующей критической точки. Важные следствия этого результата — . Также данный результат предоставляет мощный инструмент для изучения топологии многообразий, причём важны не только индексы, но и количество критических точек. Например, если на замкнутом многообразии задана функция Морса ${\displaystyle f:M\to R}$ , имеющая в точности ${\displaystyle m}$ критических точек (индексы которых неизвестны), то:

• случай ${\displaystyle m=1}$ невозможен согласно неравенствам Морса;
• в случае ${\displaystyle m=2}$ : теорема Риба о сфере утверждает, что ${\displaystyle M}$ гомеоморфно (но, вообще говоря, не диффеоморфно ) сфере ${\displaystyle S^{n}}$ ;
• случай ${\displaystyle m=3}$ возможен только в некоторых малых размерностях, при этом ${\displaystyle M}$ гомеоморфно многообразию Илса — Кёйпера .

Вариации и обобщения

• Теория Морса — Ботта — вариант теории Морса с неизолированными критическими точками. Эта теория находит применение при изучении многообразий с симметриями.

Примечания

Литература

• Милнор, Дж. Теория Морса / Пер. с англ. В. И. Арнольда . — 1965. — 184 с.