Многообразие Уайтхеда — определённый пример открытого трёхмерного многообразия , являющегося стягиваемым , но не гомеоморфным ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ . Пример был найден Генри Уайтхедом в 1935 году при попытке решить гипотезу Пуанкаре .

В одномерном и двумерном случаях подобных примеров не существует.

Построение

Для построения в трёхмерной сфере выбирается незаузленное полноторие ${\displaystyle T_{1}}$ , далее — второе полноторие ${\displaystyle T_{2}}$ в ${\displaystyle T_{1}}$ так, что ${\displaystyle T_{2}}$ и трубчатая окрестность меридиана ${\displaystyle T_{1}}$ образуют утолщение зацепления Уайтхеда . При этом ${\displaystyle T_{2}}$ можно стянуть в дополнении меридиана ${\displaystyle T_{1}}$ и меридиан ${\displaystyle T_{1}}$ можно стянуть в дополнении ${\displaystyle T_{2}}$ .

Далее строится полноторие ${\displaystyle T_{3}}$ , вложенное в ${\displaystyle T_{2}}$ тем же способом, как и ${\displaystyle T_{2}}$ для ${\displaystyle T_{1}}$ ; это построение можно продолжить до бесконечности, получив последовательность вложенных полнотрий:

${\displaystyle T_{1}\subset T_{2}\subset T_{3}\subset \dots }$

Континуум Уайтхеда определяется как пересечение построенных полнотрий:

${\displaystyle W=\bigcap _{i}T_{i}}$ .

Дополнение ${\displaystyle W}$ в трёхмерной сфере и есть многообразие Уайтхеда.

Свойства

• Многообразие Уайтхеда, ${\displaystyle W}$ , не гомеоморфно ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ , но произведение ${\displaystyle W\times \mathbb {R} }$ гомеоморфно ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ .
• Многообразие Уайтхеда содержит компактное множество ${\displaystyle K}$ такое, что для любого другого компактного множества ${\displaystyle K'\supset K}$ дополнение ${\displaystyle W\backslash K'}$ не односвязно .

См. также

• Ожерелье Антуана

Литература

• Kirby, Robion. The topology of 4-manifolds. — Springer-Verlag , 1989. — (Lecture Notes in Mathematics, 1374). — ISBN 0-387-51148-2 .