Пентакисдодека́эдр (от др.-греч. πεντάχις — «пятижды», δώδεκα — «двенадцать» и ἕδρα — «грань») — полуправильный многогранник (каталаново тело), двойственный усечённому икосаэдру . Составлен из 60 одинаковых остроугольных равнобедренных треугольников , в которых один из углов равен ${\displaystyle \arccos \,{\frac {9{\sqrt {5}}-7}{36}}\approx 68{,}62^{\circ },}$ а два других ${\displaystyle \arccos \,{\frac {9-{\sqrt {5}}}{12}}\approx 55{,}69^{\circ }.}$

Имеет 32 вершины; в 12 вершинах (расположенных так же, как вершины икосаэдра ) сходятся своими бо́льшими углами по 5 граней, в 20 вершинах (расположенных так же, как вершины додекаэдра ) сходятся меньшими углами по 6 граней.

У пентакисдодекаэдра 90 рёбер — 30 «длинных» (расположенных так же, как рёбра додекаэдра) и 60 «коротких». Двугранный угол при любом ребре одинаков и равен ${\displaystyle \arccos \left(-{\frac {80+9{\sqrt {5}}}{109}}\right)\approx 156{,}72^{\circ }.}$

Пентакисдодекаэдр можно получить из додекаэдра , приложив к каждой его грани правильную пятиугольную пирамиду с основанием, равным грани додекаэдра, и высотой, которая в ${\displaystyle {\sqrt {65-22{\sqrt {5}}}}\approx 3{,}98}$ раз меньше стороны основания. При этом полученный многогранник будет иметь по 5 граней вместо каждой из 12 граней исходного — с чем и связано его название.

Метрические характеристики

Если «короткие» рёбра пентакисдодекаэдра имеют длину ${\displaystyle a}$ , то его «длинные» рёбра имеют длину ${\displaystyle {\frac {1}{6}}\left(9-{\sqrt {5}}\right)a\approx 1{,}13a,}$ а площадь поверхности и объём выражаются как

${\displaystyle S={\frac {5}{3}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}\left(421+63{\sqrt {5}}\right)}}\;a^{2}\approx 27{,}9352496a^{2},}$

${\displaystyle V={\frac {5}{36}}\left(41+25{\sqrt {5}}\right)a^{3}\approx 13{,}4585694a^{3}.}$

Радиус вписанной сферы (касающейся всех граней многогранника в их инцентрах ) при этом будет равен

${\displaystyle r={\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {1}{109}}\left(477+194{\sqrt {5}}\right)}}\;a\approx 1{,}4453319a,}$

радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер) —

${\displaystyle \rho ={\frac {11+3{\sqrt {5}}}{12}}a\approx 1{,}4756837a.}$

Описать около пентакисдодекаэдра сферу — так, чтобы она проходила через все вершины, — невозможно.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .