Векторным расслоением называется определённая геометрическая конструкция, соответствующая семейству векторных пространств , параметризованных другим пространством ${\displaystyle X}$ (например, ${\displaystyle X}$ может быть топологическим пространством , многообразием или алгебраической структурой ): каждой точке ${\displaystyle x}$ пространства ${\displaystyle X}$ сопоставляется векторное пространство ${\displaystyle V_{x}}$ так, что их объединение образует пространство такого же типа, как и ${\displaystyle X}$ (топологическое пространство, многообразие или алгебраическую структуру и т. п.), называемое пространством векторного расслоения над ${\displaystyle X}$ . Само пространство ${\displaystyle X}$ называется базой расслоения .

Векторное расслоение является особым типом локально тривиальных расслоений , которые в свою очередь являются особым типом расслоений .

Обычно рассматривают векторные пространства над вещественными или комплексными числами. В таком случае векторные расслоения называются соответственно вещественными или комплексными. Комплексные векторные расслоения можно рассматривать как вещественные с дополнительно введённой структурой.

Примеры

• Простейший пример — тривиальное расслоение , которое имеет вид прямого произведения ${\displaystyle X\times V}$ , где ${\displaystyle X}$ — топологическое пространство (база расслоения), а ${\displaystyle V}$ — векторное пространство.
• Более сложный пример — это касательное расслоение гладкого многообразия : каждой точке на многообразии сопоставляется касательное пространство к многообразию в этой точке. Касательное расслоение в общем случае может быть нетривиальным.
• Ещё один пример нетривиального расслоения — лента Мёбиуса . Начинаем с тривиального расслоения размерности 1 над отрезком ${\displaystyle [0,1]}$ и склеим прямые на его концах по правилу ${\displaystyle [0,t]\sim [1,-t]}$ . Это пример векторного расслоения, на котором нельзя задать ориентацию.

Определения

Векторное расслоение — это локально тривиальное расслоение , у которого слой ${\displaystyle V}$ является векторным пространством, со структурной группой обратимых линейных преобразований ${\displaystyle V}$ .

Связанные определения

• Подрасслоением U векторного расслоения V на топологическом пространстве X называется такая совокупность линейных подпространств ${\displaystyle U_{x}\subset V_{x}}$ , ${\displaystyle x\in X}$ , которая сама имеет структуру векторного расслоения.
• Линейным расслоением называется векторное расслоение ранга 1.

Морфизмы

Морфизм из векторного расслоения ${\displaystyle \pi _{1}\colon E_{1}\to X_{1}}$ в векторное расслоение ${\displaystyle \pi _{2}\colon E_{2}\to X_{2}}$ задается парой непрерывных отображений ${\displaystyle f\colon E_{1}\to E_{2}}$ и ${\displaystyle g\colon X_{1}\to X_{2}}$ таких, что

• ${\displaystyle g\circ \pi _{1}=\pi _{2}\circ f}$
• для любого ${\displaystyle x\in X_{1}}$ , отображение ${\displaystyle \pi _{1}^{-1}(\{x\})\to \pi _{2}^{-1}(\{g(x)\}),}$ индуцированное ${\displaystyle f,}$ — линейное отображение векторных пространств.

Заметим, что ${\displaystyle g}$ определяется ${\displaystyle f}$ (так как ${\displaystyle \pi _{1}}$ — сюръекция); в таком случае говорят, что ${\displaystyle f}$ покрывает ${\displaystyle g}$ .

Класс всех векторных расслоений вместе с морфизмами расслоений образует категорию . Ограничиваясь векторными расслоениями, являющимися гладкими многообразиями, и гладкими морфизмами расслоений, мы получим категорию гладких векторных расслоений . Морфизмы векторных расслоений — частный случай между локально тривиальными расслоениями, их часто называют гомоморфизмом (векторных) расслоений .

Гомоморфизм расслоений из ${\displaystyle E_{1}}$ в ${\displaystyle E_{2}}$ вместе с обратным гомоморфизмом называется изоморфизмом (векторных) расслоений . В таком случае расслоения ${\displaystyle E_{1}}$ и ${\displaystyle E_{2}}$ называют изоморфными . Изоморфизм векторного расслоения (ранга ${\displaystyle k}$ ) ${\displaystyle E}$ над ${\displaystyle X}$ на тривиальное расслоение (ранга ${\displaystyle k}$ над ${\displaystyle X}$ ) называется тривиализацией ${\displaystyle E}$ , при этом ${\displaystyle E}$ называют тривиальным (или тривиализуемым ). Из определения векторного расслоения видно, что любое векторное расслоение локально тривиально .

Операции над расслоениями

Большинство операций над векторными пространствами могут быть продолжены на векторные расслоения, выполняясь поточечно .

Например, если ${\displaystyle E}$ — векторное расслоение на ${\displaystyle X}$ , то существует расслоение ${\displaystyle E^{*}}$ на ${\displaystyle X}$ , называемое , слой которого в точке ${\displaystyle x\in X}$ — это сопряженное векторное пространство ${\displaystyle (E_{x})^{*}}$ . Формально ${\displaystyle E^{*}}$ можно определить как множество пар ${\displaystyle (x,\varphi)}$ , где ${\displaystyle x\in X}$ и ${\displaystyle \varphi \in E_{x}^{*}}$ . Сопряженное расслоение локально тривиально.

Существует много функториальных операций, выполняемых над парами векторных пространств (над одним полем). Они напрямую продолжаются на пары векторных расслоений ${\displaystyle E,F}$ на ${\displaystyle X}$ (над заданным полем). Вот несколько примеров.

• , или расслоение прямой суммы ${\displaystyle E}$ и ${\displaystyle F}$ , — это векторное расслоение ${\displaystyle E\oplus F}$ на ${\displaystyle X}$ , слой которого в точке ${\displaystyle x}$ является прямой суммой ${\displaystyle E_{x}\oplus F_{x}}$ векторных пространств ${\displaystyle E_{x}}$ и ${\displaystyle F_{x}}$ .

• Расслоение тензорного произведения ${\displaystyle E\otimes F}$ определяется аналогично, используя поточечные тензорные произведения векторных пространств.

• Расслоение гомоморфизмов ( hom-bundle ) ${\displaystyle \operatorname {Hom} \,(E,F)}$ — это векторное расслоение, слой которого в точке ${\displaystyle x}$ — пространство линейных отображений из ${\displaystyle E_{x}}$ в ${\displaystyle F_{x}}$ (часто обозначаемое ${\displaystyle \operatorname {Hom} \,(E_{x},F_{x})}$ или ${\displaystyle L(E_{x},F_{x})}$ ). Это расслоение полезно, потому что существует биекция между гомоморфизмами векторных расслоений из ${\displaystyle E}$ в ${\displaystyle F}$ на ${\displaystyle X}$ и частями ${\displaystyle \operatorname {Hom} \,(E,F)}$ на ${\displaystyle X}$ .

См. также

• Абелева категория
• Группа Гротендика

Ссылки

• Мищенко А.С. Векторные расслоения и их применения. — М. : Наука. Глав. ред. физ.-мат. лит., 1984. — 208 с.
• Jurgen Jost. Riemannian Geometry and Geometric Analysis — (2002) Springer-Verlag, Berlinб ISBN 3-540-42627-2 — See section 1.5 .
• , Jerrold E. Marsden. Foundations of Mechanics, — (1978) Benjamin-Cummings, Londonб ISBN 0-8053-0102-X — See section 1.5 .