Отношение эквивалентности — бинарное отношение между элементами данного множества, свойства которого сходны со свойствами отношения равенства .

Определение

Отношение эквивалентности ( ${\displaystyle \sim }$ ) на множестве ${\displaystyle X}$ — это бинарное отношение , для которого при любых ${\displaystyle a,b,c}$ из ${\displaystyle X}$ выполнены следующие условия:

1. рефлексивность : ${\displaystyle a\sim a}$ ;
2. симметричность : если ${\displaystyle a\sim b}$ , то ${\displaystyle b\sim a}$ ;
3. транзитивность : если ${\displaystyle a\sim b}$ и ${\displaystyle b\sim c}$ , то ${\displaystyle a\sim c}$ .

Запись вида « ${\displaystyle a\sim b}$ » читается как « ${\displaystyle a}$ эквивалентно ${\displaystyle b}$ ».

Связанные определения

Классом эквивалентности ${\displaystyle [a]\subset X}$ элемента ${\displaystyle a\in X}$ называется подмножество элементов, эквивалентных ${\displaystyle a}$ ; то есть,

${\displaystyle [a]=\{\,x\in X\mid x\sim a\,\}}$ .

Из вышеприведённого определения немедленно следует, что если ${\displaystyle b\in [a]}$ , то ${\displaystyle [a]=[b]}$ .

Фактормножество — множество всех классов эквивалентности заданного множества ${\displaystyle X}$ по заданному отношению ${\displaystyle \sim }$ , обозначается ${\displaystyle X/{\sim }}$ .

Для класса эквивалентности элемента ${\displaystyle a}$ используются следующие обозначения: ${\displaystyle [a]}$ , ${\displaystyle a/{\sim }}$ , ${\displaystyle {\overline {a}}}$ .

Множество классов эквивалентности по отношению ${\displaystyle \sim }$ является разбиением множества .

Примеры

• Равенство (« ${\displaystyle =}$ »), тривиальное отношение эквивалентности на любом множестве, в частности, вещественных чисел .
• Сравнение по модулю : а ≡ b (mod n).
• В евклидовой геометрии
  • Отношение конгруэнтности (« ${\displaystyle \cong }$ »).
  • Отношение подобия (« ${\displaystyle \sim }$ »).
  • Отношение параллельности прямых (« ${\displaystyle \|}$ ») (если считать каждую прямую параллельной самой себе).
• Эквивалентность функций в математическом анализе :

  Говорят, что функция ${\displaystyle f(x)}$ эквивалентна функции ${\displaystyle g(x)}$ при ${\displaystyle x\rightarrow x_{0}}$ , если она допускает представление вида ${\displaystyle f(x)=\alpha (x)g(x)}$ , где ${\displaystyle \alpha (x)\rightarrow 1}$ при ${\displaystyle x\rightarrow x_{0}}$ . В этом случае пишут ${\displaystyle f(x)\sim g(x)}$ , напоминая при необходимости, что речь идёт о сравнении функций при ${\displaystyle x\rightarrow x_{0}}$ . Если ${\displaystyle g(x)\neq 0}$ при ${\displaystyle x\neq x_{0}}$ , эквивалентность функций ${\displaystyle f(x)}$ и ${\displaystyle g(x)}$ при ${\displaystyle x\rightarrow x_{0}}$ , очевидно, равносильна соотношению ${\displaystyle \lim _{x\rightarrow x_{0}}{\frac {f(x)}{g(x)}}=1}$ .

• Эквивалентность норм на векторном пространстве.
• Отношение равномощности множеств.
• Изоморфизм групп , колец , векторных пространств
• Эквивалентность категорий .
• Изоморфизм в некоторой категории задаёт отношение эквивалентности на этой категории.
• Эквивалентность гладких атласов гладкого многообразия .

Классы эквивалентности

Множество всех классов эквивалентности, отвечающее отношению эквивалентности ${\displaystyle \sim }$ , обозначается символом ${\displaystyle X/{\sim }}$ и называется фактормножеством относительно ${\displaystyle \sim }$ . При этом сюръективное отображение

${\displaystyle p\colon x\mapsto [x]}$

называется естественным отображением (или канонической проекцией ) ${\displaystyle X}$ на фактормножество ${\displaystyle X/{\sim }}$ .

Пусть ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ — множества, ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ — отображение, тогда бинарное отношение ${\displaystyle x\sim y}$ , определённое правилом

${\displaystyle x\sim y\iff f(x)=f(y),\quad x,y\in X}$ ,

является отношением эквивалентности на ${\displaystyle X}$ . При этом отображение ${\displaystyle f}$ индуцирует отображение ${\displaystyle {\overline {f}}\colon X/{\sim }\to Y}$ , определяемое правилом

${\displaystyle {\overline {f}}([x])=f(x)}$

или, что то же самое,

${\displaystyle ({\overline {f}}\circ p)(x)=f(x)}$ .

При этом получается факторизация отображения ${\displaystyle f}$ на сюръективное отображение ${\displaystyle p}$ и инъективное отображение ${\displaystyle {\overline {f}}}$ .

См. также

• Отношение толерантности — ослабленная форма эквивалентности.
• Эквиваленция — логическая операция.
• Знак равенства .

Литература

• А. И. Кострикин , Введение в алгебру. М. : Наука, 1977, 47—51.
• А. И. Мальцев , Алгебраические системы, М. : Наука, 1970, 23—30.
• Отношение типа равенства (отношение эквивалентности) // Большая Советская энциклопедия (в 30 т.) / А. М. Прохоров (гл. ред.). — 3-е изд. — М. : Сов. энциклопедия, 1974. — Т. XVIII. — С. 629. — 632 с.