Interested Article - Список групп малого порядка

seraphina
  • 2020-12-31
  • 1

Следующий список содержит конечные группы малого порядка с точностью до изоморфизма групп .

Число

Общее число неизоморфных групп по величине порядка от 0 до 95
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
0 0 1 1 1 2 1 2 1 5 2 2 1 5 1 2 1 14 1 5 1 5 2 2 1
24 15 2 2 5 4 1 4 1 51 1 2 1 14 1 2 2 14 1 6 1 4 2 2 1
48 52 2 5 1 5 1 15 2 13 2 2 1 13 1 2 4 267 1 4 1 5 1 4 1
72 50 1 2 3 4 1 6 1 52 15 2 1 15 1 2 1 12 1 10 1 4 2 2 1

Словарь

Каждая группа в списке обозначается при помощи её индекса в как G o i , где o — порядок группы, а i — её индекс среди групп этого порядка.

Также используются общепринятые названия групп:

Обозначения Z n и Dih n предпочтительнее, поскольку имеются обозначения C n и D n для точечных групп в трёхмерном пространстве.

Обозначение G × H употребляется для прямого произведения двух групп. G n обозначает прямое произведение группы самой на себя n раз. G ⋊ H обозначает полупрямое произведение , где H действует на G .

Перечислены абелевы и простые группы . (Для групп порядка n < 60 простые группы — это в точности циклические группы Z n для простых n .) Знак равенства («=») означает изоморфизм.

Нейтральный элемент в графе циклов представлен чёрным кружком. Граф циклов определяет группу однозначно только для групп, порядок которых меньше 16.

В списках подгрупп тривиальная группа и сама группа не перечислены. Если имеется несколько изоморфных подгрупп, их число указано в скобках.

Список малых абелевых групп

Конечные абелевы группы являются либо циклическими группами, либо их прямым произведением, см. статью Абелева группа .

Число неизоморфных абелевых групп по величине их порядка
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
0 0 1 1 1 2 1 1 1 3 2 1 1 2 1 1 1 5 1 2 1 2 1 1 1
24 3 2 1 3 2 1 1 1 7 1 1 1 4 1 1 1 3 1 1 1 2 2 1 1
48 5 2 2 1 2 1 3 1 3 1 1 1 2 1 1 2 11 1 1 1 2 1 1 1
72 6 1 1 2 2 1 1 1 5 5 1 1 2 1 1 1 3 1 2 1 2 1 1 1
Список всех абелевых групп до 30-го порядка
Порядок G o i Группа Подгруппы Граф
циклов 		Свойства
1 G 1 1 Z 1 = S 1 = A 2 - Тривиальная группа . Циклическая, знакопеременная, симметрическая группа. Элементарная группа .
2 G 2 1 Z 2 = S 2 = Dih 1 - Простая, наименьшая нетривиальная группа. Симметрическая группа. Циклическая. Элементарная.
3 G 3 1 Z 3 = A 3 - Простая. Знакопеременная группа. Циклическая. Элементарная.
4 G 4 1 Z 4 = Dic 1 Z 2 Циклическая.
G 4 2 Z 2 2 = K 4 = Dih 2 Z 2 (3) Четверная группа Клейна , наименьшая нециклическая группа. Элементарная. Произведение.
5 G 5 1 Z 5 - Простая. Циклическая. Элементарная.
6 G 6 2 Z 6 = Z 3 × Z 2 Z 3 , Z 2 Циклическая. Произведение.
7 G 7 1 Z 7 - Простая. Циклическая. Элементарная.
8 G 8 1 Z 8 Z 4 , Z 2 Циклическая.
G 8 2 Z 4 × Z 2 Z 2 2 , Z 4 (2), Z 2 (3) Произведение.
G 8 5 Z 2 3 Z 2 2 (7), Z 2 (7) Элементы, не являющиеся нейтральными, соответствуют точкам плоскости Фано , Z 2 × Z 2 подгруппы — прямым. Произведение Z 2 × K 4 . Элементарная E 8 .
9 G 9 1 Z 9 Z 3 Циклическая.
G 9 2 Z 3 2 Z 3 (4) Элементарная. Произведение.
10 G 10 2 Z 10 = Z 5 × Z 2 Z 5 , Z 2 Циклическая. Произведение.
11 G 11 1 Z 11 - Простая. Циклическая. Элементарная.
12 G 12 2 Z 12 = Z 4 × Z 3 Z 6 , Z 4 , Z 3 , Z 2 Циклическая. Произведение.
G 12 5 Z 6 × Z 2 = Z 3 × K 4 Z 6 (3), Z 3 , Z 2 (3), Z 2 2 Произведение.
13 G 13 1 Z 13 - Простая. Циклическая. Элементарная.
14 G 14 2 Z 14 = Z 7 × Z 2 Z 7 , Z 2 Циклическая. Произведение.
15 G 15 1 Z 15 = Z 5 × Z 3 Z 5 , Z 3 Циклическая. Произведение.
16 G 16 1 Z 16 Z 8 , Z 4 , Z 2 Циклическая.
G 16 2 Z 4 2 Z 2 (3), Z 4 (6), Z 2 2 , Z 4 × Z 2 (3) Произведение.
G 16 5 Z 8 × Z 2 Z 2 (3), Z 4 (2), Z 2 2 , Z 8 (2), Z 4 × Z 2 Произведение.
G 16 10 Z 4 × K 4 Z 2 (7), Z 4 (4), Z 2 2 (7), Z 2 3 , Z 4 × Z 2 (6) Произведение.
G 16 14 Z 2 4 = K 4 2 Z 2 (15), Z 2 2 (35), Z 2 3 (15) Произведение. Элементарная.
17 G 17 1 Z 17 - Простая. Циклическая. Элементарная.
18 G 18 2 Z 18 = Z 9 × Z 2 Z 9 , Z 6 , Z 3 , Z 2 Циклическая. Произведение.
G 18 5 Z 6 × Z 3 = Z 3 2 × Z 2 Z 2 , Z 3 (4), Z 6 (4), Z 3 2 Произведение.
19 G 19 1 Z 19 - Простая. Циклическая. Элементарная.
20 G 20 2 Z 20 = Z 5 × Z 4 Z 20 , Z 10 , Z 5 , Z 4 , Z 2 Циклическая. Произведение.
G 20 5 Z 10 × Z 2 = Z 5 × Z 2 2 Z 2 (3), K 4 , Z 5 , Z 10 (3) Произведение.
21 G 21 2 Z 21 = Z 7 × Z 3 Z 7 , Z 3 Циклическая. Произведение.
22 G 22 2 Z 22 = Z 11 × Z 2 Z 11 , Z 2 Циклическая. Произведение.
23 G 23 1 Z 23 - Простая. Циклическая. Элементарная.
24 G 24 2 Z 24 = Z 8 × Z 3 Z 12 , Z 8 , Z 6 , Z 4 , Z 3 , Z 2 Циклическая. Произведение.
G 24 9 Z 12 × Z 2 = Z 6 × Z 4
= Z 4 × Z 3 × Z 2 		Z 12 , Z 6 , Z 4 , Z 3 , Z 2 Произведение.
G 24 15 Z 6 × Z 2 2 = (Z 3 × Z 2 ) × K 4 Z 6 , Z 3 , Z 2 , K 4 , E 8 . Произведение.
25 G 25 1 Z 25 Z 5 Циклическая.
G 25 2 Z 5 2 Z 5 Произведение. Элементарная.
26 G 26 2 Z 26 = Z 13 × Z 2 Z 13 , Z 2 Циклическая. Произведение.
27 G 27 1 Z 27 Z 9 , Z 3 Циклическая.
G 27 2 Z 9 ×Z 3 Z 9 , Z 3 Произведение.
G 27 Z 3 3 Z 3 Произведение. Элементарная.
28 G 28 2 Z 28 = Z 7 × Z 4 Z 14 , Z 7 , Z 4 , Z 2 Циклическая. Произведение.
G 28 4 Z 14 × Z 2 = Z 7 × Z 2 2 Z 14 , Z 7 , Z 4 , Z 2 Произведение.
29 G 29 1 Z 29 - Простая. Циклическая. Элементарная.
30 G 30 4 Z 30 = Z 15 × Z 2 = Z 10 × Z 3
= Z 6 × Z 5 = Z 5 × Z 3 × Z 2 		Z 15 , Z 10 , Z 6 , Z 5 , Z 3 , Z 2 Циклическая. Произведение.

Список неабелевых групп малого порядка

Число неизоморфных неабелевых групп по величине порядка
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
0 0 0 0 0 0 0 1 0 2 0 1 0 3 0 1 0 9 0 3 0 3 1 1 0
24 12 0 1 2 2 0 3 0 44 0 1 0 10 0 1 1 11 0 5 0 2 0 1 0
48 47 0 3 0 3 0 12 1 10 1 1 0 11 0 1 2 256 0 3 0 3 0 3 0
72 44 0 1 1 2 0 5 0 47 10 1 0 13 0 1 0 9 0 8 0 2 1 1 0
Список неизоморфных неабелевых групп до 30 порядка
Порядок G o i Группа Подгруппы Граф
циклов 		Свойства
6 G 6 1 Dih 3 = 21323 Z 3 , Z 2 (3) Диэдрическая группа , наименьшая неабелева группа, симметрическая группа, Группа Фробениуса
8 G 8 3 Dih 4 Z 4 , Z 2 2 (2), Z 2 (5) Диэдрическая группа. . Нильпотентная.
G 8 4 Q 8 = Dic 2 = <2,2,2> Z 4 (3), Z 2 Группа кватернионов , * . Все подгруппы являются нормальными , несмотря на то, что сама группа абелевой не является. Наименьшая группа G , демонстрирующая, что для нормальной подгруппы H факторгруппа G / H не обязательно изоморфна подгруппе G . . Бинарная диэдрическая группа. Нильпотентная.
10 G 10 1 Dih 5 Z 5 , Z 2 (5) Диэдрическая группа, Группа Фробениуса
12 G 12 1 Q 12 = Dic 3 = <3,2,2>
= Z 3 ⋊ Z 4 		Z 2 , Z 3 , Z 4 (3), Z 6 Бинарная диэдрическая группа
G 12 3 A 4 = K 4 ⋊ Z 3
= (Z 2 × Z 2 ) ⋊ Z 3 		Z 2 2 , Z 3 (4), Z 2 (3) Знакопеременная группа . Не имеет подгруппы шестого порядка, хотя 6 делит порядок группы. Группа Фробениуса
G 12 4 Dih 6 = Dih 3 × Z 2 Z 6 , Dih 3 (2), Z 2 2 (3), Z 3 , Z 2 (7) Диэдрическая группа, Произведение
14 G 14 1 Dih 7 Z 7 , Z 2 (7) Диэдрическая группа , Группа Фробениуса
16 G 16 3 G 4,4 = K 4 ⋊ Z 4
(Z 2 ×Z 2 ) ⋊ Z 4 		Имеет такое же количество элементов каждого порядка, что и группа Паули. Нильпотентная.
G 16 4 Z 4 ⋊ Z 4 Квадраты элементов не образуют подгруппу. Имеет такое же количество элементов каждого порядка, что и группа Q 8 × Z 2 . Нильпотентная.
G 16 6 Z 8 ⋊ Z 2 Иногда называется порядка 16, хотя это вводит в заблуждение, поскольку абелевы группы и Q 8 × Z 2 тоже модулярны. Нильпотентная.
G 16 7 Dih 8 Z 8 , Dih 4 (2), Z 2 2 (4), Z 4 , Z 2 (9) Диэдрическая группа . Нильпотентная.
G 16 8 QD 16 порядка 16. Нильпотентная.
G 16 9 Q 16 = Dic 4 = <4,2,2> Обобщённая группа кватернионов , Бинарная диэдрическая группа. Нильпотентная.
G 16 11 Dih 4 × Z 2 Dih 4 (2), Z 4 × Z 2 , Z 2 3 (2), Z 2 2 (11), Z 4 (2), Z 2 (11) Произведение. Нильпотентная.
G 16 12 Q 8 × Z 2 * , Произведение. Нильпотентная.
G 16 13 (Z 4 × Z 2 ) ⋊ Z 2 , образованная матрицами Паули . Нильпотентная.
18 G 18 1 Dih 9 Z 9 , Dih 3 (3), Z 3 , Z 2 (9) Диэдрическая группа, Группа Фробениуса
G 18 3 Z 3 ⋊Z 6 = Dih 3 ×Z 3 = S 3 ×Z 3 Z 3 2 , Dih 3 , Z 6 (3), Z 3 (4), Z 2 (3) Произведение
G 18 4 (Z 3 ×Z 3 )⋊Z 2 Z 3 2 , Dih 3 (12), Z 3 (4), Z 2 (9) Группа Фробениуса
20 G 20 1 Q 20 = Dic 5 = <5,2,2>
G 20 3 Z 5 ⋊ Z 4 Группа Фробениуса
G 20 4 Dih 10 = Dih 5 × Z 2 Диэдрическая группа, Произведение
21 G 21 1 Z 7 ⋊ Z 3 Наименьшая неабелева группа нечётного порядка. Группа Фробениуса
22 G 22 1 Dih 11 Диэдрическая группа, Группа Фробениуса
24 G 24 1 Z 3 ⋊ Z 8 Z 12 , Z 8 (3), Z 6 , Z 4 , Z 3 , Z 2 Центральное расширение группы S 3
G 24 3 SL (2,3) = 2T = Q 8 ⋊ Z 3 Бинарная группа тетраэдра
G 24 4 Q 24 = Dic 6 = <6,2,2> = Z 3 ⋊ Q2 Бинарная диэдрическая
G 24 5 Z 4 × S 3 Произведение
G 24 6 Dih 12 Диэдрическая группа
G 24 7 Dic 3 × Z 2 = Z 2 × (Z 3 × Z 4 ) Произведение
G 24 8 (Z 6 × Z 2 )⋊ Z 2 = Z 3 ⋊ Dih 4 Двойное покрытие диэдрической группы
G 24 10 Dih 4 × Z 3 Произведение. Нильпотентная.
G 24 11 Q 8 × Z 3 Произведение. Нильпотентная.
G 24 12 S 4 A 4 , Dih 4 (3), S 3 (4), K 4 (4), Z 4 (3), Z 3 (4), Z 2 (6) Симметрическая группа . Не содержит нормальной силовской подгруппы.
G 24 13 A 4 × Z 2 Произведение
G 24 14 D 12 × Z 2 Произведение
26 G 26 1 Dih 13 Диэдрическая группа, Группа Фробениуса
27 G 27 3 Z 3 2 ⋊ Z 3 Все нетривиальные элементы имеют порядок 3. . Нильпотентная.
G 27 4 Z 9 ⋊ Z 3 . Нильпотентная.
28 G 28 1 Z 7 ⋊ Z 4 Бинарная диэдрическая группа
G 28 3 Dih 14 Диэдрическая группа, Произведение
30 G 30 1 Z 5 × S 3 Произведение
G 30 3 Dih 15 Диэдрическая группа, группа Фробениуса
G 30 4 Z 3 × Dih 5 Произведение

Классификация групп малого порядка

Группы с малым порядком, равным степени простого числа p n :

  • Порядок p : все такие группы циклические.
  • Порядок p 2 : имеется две группы, обе абелевы.
  • Порядок p 3 : имеется три абелевы группы и две неабелевы. Одна из неабелевых групп является полупрямым произведением нормальной циклической подгруппы порядка p 2 на циклическую группу порядка p . Другой группой является группа кватернионов для p =2 и группа Гейзенберга по модулю p для p'>2.
  • Порядок p 4 : классификация групп сложна и становится всё сложнее с ростом p .

Большинство групп с малым порядком имеет силовскую p -подгруппу P с нормальным p -дополнением N для некоторого простого p , делящего порядок, так что могут быть классифицированы в терминах возможных простых чисел p , p -групп P , групп N и действий P на N . В некотором смысле это сводит классификацию таких групп к классификации p -групп. Группы малого порядка, не имеющие нормального p -дополнения, включают:

  • Порядок 24: симметрическая группа S 4
  • Порядок 48: бинарная октаэдральная группа и произведение S 4 × Z /2 Z
  • Порядок 60: знакопеременная группа A 5 .

Библиотека малых групп

Система компьютерной алгебры GAP содержит «Библиотеку малых групп», которая предоставляет описания групп малого порядка. Группы перечислены с точностью до изоморфизма . В настоящее время библиотека содержит следующие группы:

  • группы, порядок которых не превосходит 2000, за исключением порядка 1024 (423 164 062 групп в библиотеке. Группы порядка 1024 пропущены, поскольку имеется 49 487 365 422 неизоморфных 2-групп порядка 1024.);
  • группы, порядок которых не делится на куб, с порядком до 50000 (395 703 групп);
  • группы, порядок которых не делится на квадрат;
  • группы порядка p n для n не больше 6 и простым p ;
  • группы порядка p 7 для p = 3, 5, 7, 11 (907,489 группы);
  • группы порядка q n × p , где q n делит 2 8 , 3 6 , 5 5 или 7 4 и p — произвольное простое число, отличное от q ;
  • группы, порядок которых является произведением не более чем трёх простых чисел.

См. также

Примечания

  1. последовательность в OEIS
  2. последовательность в OEIS
  3. . Дата обращения: 6 июля 2015. 7 июля 2015 года.
  4. . Дата обращения: 6 июля 2015. 16 декабря 2014 года.
  5. . Дата обращения: 6 июля 2015. 7 июля 2015 года.
  6. . Дата обращения: 6 июля 2015. 2 июля 2015 года.
  7. . Дата обращения: 6 июля 2015. 7 июля 2015 года.
  8. . Дата обращения: 6 июля 2015. 1 июля 2015 года.
  9. . Дата обращения: 6 июля 2015. 23 сентября 2015 года.
  10. . Дата обращения: 6 июля 2015. 1 июля 2015 года.
  11. . Дата обращения: 6 июля 2015. 1 июля 2015 года.
  12. . Дата обращения: 6 июля 2015. 25 сентября 2015 года.
  13. . Дата обращения: 6 июля 2015. 2 июля 2015 года.
  14. ↑ . Дата обращения: 6 июля 2015. 2 июля 2015 года.
  15. . Дата обращения: 6 июля 2015. 2 июля 2015 года.
  16. . Дата обращения: 6 июля 2015. 7 июля 2015 года.
  17. . Дата обращения: 6 июля 2015. 2 июля 2015 года.
  18. ↑ . Дата обращения: 6 июля 2015. 7 июля 2015 года.
  19. . Дата обращения: 6 июля 2015. 8 июля 2015 года.
  20. ↑ . Дата обращения: 6 июля 2015. 7 июля 2015 года.
  21. . Дата обращения: 6 июля 2015. 2 июля 2015 года.
  22. . Дата обращения: 6 июля 2015. 25 сентября 2015 года.
  23. . Дата обращения: 6 июля 2015. 15 апреля 2015 года.
  24. (недоступная ссылка)
  25. ↑ . Дата обращения: 6 июля 2015. 25 сентября 2015 года.
  26. . Дата обращения: 6 июля 2015. 26 сентября 2015 года.
  27. (недоступная ссылка)
  28. ↑ . Дата обращения: 6 июля 2015. 25 сентября 2015 года.
  29. . Дата обращения: 6 июля 2015. 15 апреля 2015 года.
  30. . Дата обращения: 6 июля 2015. 15 апреля 2015 года.
  31. (недоступная ссылка)
  32. ↑ . Дата обращения: 6 июля 2015. 25 сентября 2015 года.
  33. (недоступная ссылка)
  34. . Дата обращения: 6 июля 2015. 25 сентября 2015 года.
  35. (недоступная ссылка)
  36. ↑ . Дата обращения: 6 июля 2015. 8 августа 2015 года.
  37. . Дата обращения: 6 июля 2015. 1 августа 2015 года.
  38. . Дата обращения: 6 июля 2015. 1 августа 2015 года.
  39. . Дата обращения: 6 июля 2015. 1 августа 2015 года.
  40. ↑ (недоступная ссылка)
  41. (недоступная ссылка)
  42. ↑ . Дата обращения: 6 июля 2015. 25 сентября 2015 года.
  43. . Дата обращения: 6 июля 2015. 15 апреля 2015 года.
  44. . Дата обращения: 6 июля 2015. 17 апреля 2015 года.
  45. (недоступная ссылка)
  46. ↑ . Дата обращения: 6 июля 2015. 17 апреля 2015 года.
  47. . Дата обращения: 6 июля 2015. 17 апреля 2015 года.
  48. . Дата обращения: 6 июля 2015. 15 апреля 2015 года.
  49. (недоступная ссылка)
  50. (недоступная ссылка)
  51. (недоступная ссылка)
  52. ↑ . Дата обращения: 6 июля 2015. 2 июля 2015 года.
  53. . Дата обращения: 6 июля 2015. 17 мая 2015 года.
  54. (недоступная ссылка)
  55. ↑ . Дата обращения: 6 июля 2015. 17 апреля 2015 года.
  56. ↑ . Дата обращения: 6 июля 2015. 25 сентября 2015 года.
  57. последовательность в OEIS
  58. Wild, Marcel. « 23 сентября 2006 года. », American Mathematical Monthly , Jan 2005
  59. . Дата обращения: 15 января 2020. 15 января 2020 года.
  60. Hans Ulrich Besche 5 марта 2012 года.

Литература

  • H. S. M. Coxeter, W. O. J. Moser. Generators and Relations for Discrete Groups. — New York: Springer-Verlag, 1980. — ISBN 0-387-09212-9 . , Таблица 1, Неабелевы группы порядка <32.
  • Marshall Hall Jr., James K. Senior. The Groups of Order 2 n ( n ≤ 6 ). — Macmillan, 1964.

Ссылки

  • H. U. Besche, B. Eick, E. O'Brien. . Архивировано из 5 марта 2012 года.
  • R. J. Mathar. (2014).
Источник —

seraphina
  • 2020-12-31
  • 1
  • Tags:

Same as Список групп малого порядка

The title for the last searches