Interested Article - Гомеоморфизм

Гомеоморфность кружки и бублика ( полнотория )

Гомеоморфи́зм непрерывное обратимое преобразование пространства . Является центральным понятием топологии .

Примерами гомеоморфизмов являются подобия геометрических фигур и изометрии метрических пространств. Однако в общем случае они не обязаны сохранять геометрические свойства. Так, гомеоморфизмы могут изменять углы , длины , площади , объёмы и кривизну , растягивать объекты, скручивать, мять и изгибать.

Пространства называются гомеомо́рфными , если между ними существует гомеоморфизм. Все топологические свойства гомеоморфных пространств одинаковы, поэтому с точки зрения топологии такие пространства эквивалентны .

С точки зрения теории категорий гомеоморфизмы являются изоморфизмами в категории топологических пространств . Иными словами, гомеоморфизм устанавливает взаимно однозначное соответствие между топологическими структурами.

Термин «гомеоморфизм» происходит от сочетания двух древнегреческих слов: ὅμοιος — похожий и μορφή — форма.

Определение

Пусть и — два топологических пространства . Функция называется гомеоморфизмом , если:

Иными словами, биективна и для любого подмножества условие выполняется в том и только в том случае, если .

Если между пространствами и существует гомеоморфизм, то пишут или и называют их гомеоморфными или топологически эквивалентными . Гомеоморфизм из пространства в себя называется его автогомеоморфизмом .

Примеры

  • Произвольный открытый интервал гомеоморфен всей вещественной прямой . Гомеоморфизм задаётся, например, формулой
В частности, любые два открытых интервала гомеоморфны.
  • Отрезок не гомеоморфен вещественной прямой . Это связано с тем, что отрезок компактен , а прямая — нет.
  • Если , то .
  • Теорема о гомеоморфизме [ источник не указан 345 дней ] . Пусть — интервал на числовой прямой (открытый, полуоткрытый или замкнутый). Пусть — биекция. Тогда является гомеоморфизмом тогда и только тогда, когда строго монотонна и непрерывна на

Топологические инварианты и свойства

Характеристика топологических пространств, которая принимает одинаковое значение на гомеоморфных пространствах, называется топологическим инвариантом . Примерами таких характеристик являются: количество компонент связности , размерность , эйлерова характеристика , числа Бетти , фундаментальная группа , группы гомологий и когомологий , гомотопические группы .

Аналогично определяются топологические свойства, то есть свойство пространства называется топологическим , если оно сохраняется при гомеоморфизмах. Примерами таких свойств являются: метризуемость , все виды отделимости , связность и линейная связность , компактность , односвязность , свойство быть топологическим многообразием .

Некоторые топологические инварианты и свойства определены лишь для пространств особого типа. Примером такого инварианта является род поверхности . Кроме того, ориентируемость является свойством многообразия .

Локальный гомеоморфизм

Непрерывное отображение топологических пространств называется локальным гомеоморфизмом , если у каждой точки пространства имеется такая окрестность , что образ открыт в и сужение является гомеоморфизмом .

Любой гомеоморфизм является локальным гомеоморфизмом, однако обратное неверно. Так, локальный гомеоморфизм является гомеоморфизмом тогда и только тогда, когда он биективен.

Например, отображение является локальным гомеоморфизмом из вещественной прямой в окружность . Более того, каждое накрытие является локальным гомеоморфизмом. Кроме того, среди тождественных вложений и первое является локальным гомеоморфизмом, а второе — нет.

Локальные гомеоморфизмы не обязательно сохраняют топологические свойства. Однако если между топологическими пространствами существует локальный гомеоморфизм, то они имеют одинаковые так называемые локальные свойства. Среди них: локальная связность , локальная линейная связность , локальная компактность , локальная односвязность и локальная метризуемость .

См. также

Примечания

  1. , с. 204.

Литература

  • Зорич В. А. Математический анализ. — М. : Наука , 1984. — Т. 2. — С. 41.
  • Васильев В. А. Введение в топологию. — М. : ФАЗИС, 1997. — Вып. 3. — xii + 132 с. — (Библиотека студента-математика). — ISBN 5-7036-0036-7 .
  • Тимофеева Н. В. . — ЯГПУ , 2007.
  • Болтянский В. Г. , Ефремович В. А. Наглядная топология. — М. : Наука, 1982. — 160 с.
  • Виро О. Я. , Иванов О. А. , Нецветаев Н. Ю. , Харламов В. М. Элементарная топология . — 2-е изд., исправл.. — М. : МЦНМО, 2012. — ISBN 978-5-94057-894-9 .

Ссылки

  • Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), , Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
Источник —

Same as Гомеоморфизм