Свя́зность Леви-Чиви́ты (или связность, ассоциированная с метрикой ) — одна из основных структур на римановом многообразии. Даёт естественный способ дифференцировать векторные поля на римановом многообразии ; эквивалентно заданию ковариантного дифференцирования , а также параллельного перенесения вдоль кривых. Названа в честь итальянского математика Туллио Леви-Чивиты .

Определение

Связность Леви-Чивиты есть аффинная связность с нулевым кручением на римановом (или псевдоримановом ) многообразии ${\displaystyle M}$ , относительно которой метрический тензор ковариантно постоянен.

То есть аффинная связность ${\displaystyle \nabla }$ на римановом многообразии ${\displaystyle (M,g)}$ называется связностью Леви-Чивиты, если для неё выполнены следующие два условия:

1. (римановость) для любых векторных полей ${\displaystyle X}$ , ${\displaystyle Y}$ , ${\displaystyle Z}$ верно

   ${\displaystyle X{\big (}g(Y,Z){\big )}=g(\nabla _{X}Y,Z)+g(Y,\nabla _{X}Z),}$

   где ${\displaystyle X{\big (}g(Y,Z){\big )}}$ обозначает производную ${\displaystyle g(Y,Z)}$ в направлении ${\displaystyle X}$ .
2. (отсутствие кручения) для любых векторных полей ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$

   ${\displaystyle \nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X-[X,Y]=0,}$ ,

   где ${\displaystyle [X,Y]}$ — скобки Ли векторных полей ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ .

Свойства

• Любое риманово (и псевдориманово) многообразие обладает единственной связностью Леви-Чивиты; это утверждение иногда называется основной теоремой римановой геометрии .

См. также

• Метрическая связность
• Параллельное перенесение
• Символы Кристоффеля

Литература

• Бураго Ю. Д., Залгаллер В. А. Введение в риманову геометрию. — СПб. : Наука, 1994. — ISBN 5-02-024606-9 .