А́лгебра Кэ́ли — система гиперкомплексных чисел , 8- мерная алгебра над полем вещественных чисел . Обычно обозначается ${\displaystyle \mathbb {O} }$ , поскольку её элементы ( числа Кэли ) называются иногда октонионами или октавами .

Впервые рассмотрена в 1843 году , приятелем Уильяма Гамильтона , а двумя годами позже — независимо Артуром Кэли .

Число Кэли — это линейная комбинация элементов ${\displaystyle \{1,i,j,k,l,il,jl,kl\}}$ . Каждая октава ${\displaystyle x}$ может быть записана в форме:

${\displaystyle x=x_{0}+x_{1}\,i+x_{2}\,j+x_{3}\,k+x_{4}\,l+x_{5}\,il+x_{6}\,jl+x_{7}\,kl}$

с вещественными коэффициентами ${\displaystyle x_{i}}$ . Октонионы находят применение в физике, в частности, в специальной теории относительности и теории струн .

Таблицы умножения

Таблица умножения элементов октавы:

1	i ( e1 )	j ( e2 )	k ( e3 )	l ( e4 )	il ( e5 )	jl ( e6 )	kl ( e7 )
i ( e1 )	−1	k	− j	il	− l	− kl	jl
j ( e2 )	− k	−1	i	jl	kl	− l	− il
k ( e3 )	j	− i	−1	kl	− jl	il	− l
l ( e4 )	− il	− jl	− kl	−1	i	j	k
il ( e5 )	l	− kl	jl	− i	−1	− k	j
jl ( e6 )	kl	l	− il	− j	k	−1	− i
kl ( e7 )	− jl	il	l	− k	− j	i	−1

Таблица (Кэли) умножения октонионов :

e 0	e 1	e 2	e 3	e 4	e 5	e 6	e 7
e 1	−1	e 3	−e 2	e 5	−e 4	−e 7	e 6
e 2	−e 3	−1	e 1	e 6	e 7	−e 4	−e 5
e 3	e 2	−e 1	−1	e 7	−e 6	e 5	−e 4
e 4	−e 5	−e 6	−e 7	−1	e 1	e 2	e 3
e 5	e 4	−e 7	e 6	−e 1	−1	−e 3	e 2
e 6	e 7	e 4	−e 5	−e 2	e 3	−1	−e 1
e 7	−e 6	e 5	e 4	−e 3	−e 2	e 1	−1

Иногда заменяются буквенным обозначением:

Номер	1	2	3	4	5	6	7
Буквы	i	j	k	l	il	jl	kl
Замена	i	j	k	l	m	n	o

Свойства

По теореме Фробениуса алгебра Кэли является единственной 8-мерной вещественной альтернативной алгеброй без делителей нуля .

Алгебра Кэли является алгеброй с однозначным делением и с единицей, альтернативной, но неассоциативной и некоммутативной .

Для октониона ${\displaystyle x=x_{0}+x_{1}\,i+x_{2}\,j+x_{3}\,k+x_{4}\,l+x_{5}\,il+x_{6}\,jl+x_{7}\,kl}$ операция определена равенством:

${\displaystyle x^{*}=x_{0}-x_{1}\,i-x_{2}\,j-x_{3}\,k-x_{4}\,l-x_{5}\,il-x_{6}\,jl-x_{7}\,kl}$ .

Сопряжение удовлетворяет равенствам:

${\displaystyle (xy)^{*}=y^{*}x^{*}}$ и

${\displaystyle x^{*}=-{\frac {1}{6}}(x+(ix)i+(jx)j+(kx)k+(lx)l+((il)x)(il)+((jl)x)(jl)+((kl)x)(kl)).}$

Вещественная часть октониона ${\displaystyle x}$ определена равенством:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}(x+x^{*})=x_{0}}$ ,

мнимая часть:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}(x-x^{*})}$ .

Норма октониона ${\displaystyle x}$ : ${\displaystyle \|x\|={\sqrt {x^{*}x}}}$ ; ${\displaystyle \|x\|=0}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle x=0}$ . Из определения нормы следует, что октонион ${\displaystyle x\neq 0}$ обратим и

${\displaystyle x^{-1}={\frac {x^{*}}{\|x\|^{2}}}}$ .

Из-за неассоциативности октонионы не имеют матричных представлений.

Примечания

Литература

• Джон Баэс . от 4 марта 2016 на Wayback Machine // Гиперкомплексные числа в геометрии и физике, № 1(5), Vol 3(2006), с.120-176.