Неравенство Кон-Фоссена связывает интеграл от гауссовой кривизны некомпактной поверхности с её эйлеровой характеристикой . Это неравенство аналогично формуле Гаусса — Бонне .

Названо в честь Стефана Эммануиловича Кон-Фоссена .

Формулировка

Для любой поверхности ${\displaystyle S}$ с полной римановой метрикой и ограниченной интегральной кривизной выполняется неравенство

${\displaystyle \iint \limits _{S}K\leq 2\cdot \pi \cdot \chi (S),}$

где ${\displaystyle K}$ обозначает гауссову кривизну и ${\displaystyle \chi (S)}$ — Эйлерову характеристику ${\displaystyle S}$ .

Примеры

• Если ${\displaystyle S}$ — компактная поверхность без края, то неравенство переходит в равенство согласно формуле Гаусса — Бонне.
• Если ${\displaystyle S}$ — плоскость, то неравенство становится строгим (его левая часть равна нулю, правая — ${\displaystyle 2\pi }$ ).

Примечания

Литература

• Кон-Фоссен, С. Э. Некоторые вопросы дифференциальной геометрии в целом. — Государственное Издательство Физико-Математической Литературы, 1959. — 303 с.