Линейный непрерывный оператор ${\displaystyle A:X\rightarrow Y}$ , действующий из линейного топологического пространства X в линейное топологическое пространство Y — это линейное отображение из X в Y , обладающее свойством непрерывности .

Термин «линейный непрерывный оператор » обычно употребляют в случае, когда Y многомерно . Если Y одномерно, т.е. совпадает с самими полем ( ${\displaystyle \mathbb {R} }$ или ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ), то принято использовать термин линейный непрерывный функционал . Множество всех линейных непрерывных операторов из X в Y обозначается ${\displaystyle L(X,Y)}$ .

В теории нормированных пространств линейные непрерывные операторы более известны как ограниченные линейные по причине. Теория линейных непрерывных операторов играет важную роль в функциональном анализе , математической физике и вычислительной математике .

Свойства

• Если X конечномерно , то любой линейный оператор непрерывен.
• Непрерывность линейного оператора в нуле равносильна его непрерывности в любой другой точке (и, следовательно, во всём X ).
• Для нормированных пространств условия непрерывности и ограниченности (т.е. конечности операторной нормы ) равносильны. . В общем случае из непрерывности линейного оператора следует ограниченность, но обратное верно не всегда.
• Если X и Y — банаховы пространства , и образ оператора ${\displaystyle A\in L(X,Y)}$ совпадает с пространством Y , то существует обратный оператор ${\displaystyle A^{-1}\in L(Y,X)}$ (т.н. теорема об обратном операторе ).
• Множество всех линейных непрерывных операторов из X в Y само является линейным топологическим пространством. Если X и Y нормированы, то ${\displaystyle L(X,Y)}$ также нормировано операторной нормой . Если Y — банахово, то и ${\displaystyle L(X,Y)}$ является таковым, независимо от полноты X .

Свойства линейного непрерывного оператора сильно зависят от свойств пространств X и Y . Например, если X — конечномерное пространство , то оператор ${\displaystyle A\in L(X,Y)}$ будет вполне непрерывным оператором, область его значений ${\displaystyle R(A)}$ будет конечномерным линейным подпространством, и каждый такой оператор можно представить в виде матрицы .

Непрерывность и сходящиеся последовательности

Линейный оператор ${\displaystyle A:X\rightarrow Y}$ , действующий из линейного топологического пространства X в линейное топологическое пространство Y , непрерывен тогда и только тогда, когда для любой последовательности ${\displaystyle \{x_{n}\}}$ точек X , из ${\displaystyle x_{n}\rightarrow x_{0}}$ следует ${\displaystyle Ax_{n}\rightarrow Ax_{0}}$ .

Пусть ряд ${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }x_{n}=s}$ сходится и ${\displaystyle A:X\rightarrow Y}$ — линейный непрерывный оператор. Тогда справедливо равенство

${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }Ax_{n}=As}$ .

Это означает, что к сходящимся рядам в линейных топологических пространствах линейный оператор можно применять почленно.

Если X , Y — банаховы пространства , то непрерывный оператор переводит каждую слабо сходящуюся последовательность в слабо сходящуюся:

если ${\displaystyle x_{n}\to x}$ слабо, то ${\displaystyle Ax_{n}\to Ax}$ слабо.

Связанные определения

• Линейный оператор называется ограниченным снизу, если ${\displaystyle \exists k>0,\forall x\in X,\|Ax\|\geq k\|x\|}$ .

См. также

• Сопряжённый оператор

Литература

• Треногин В. А. Функциональный анализ. — М. : Наука , 1980 . — 495 с.
• Халмош П. Конечномерные векторные пространства = Finite-dimensional vector spaces. — М. : Физматгиз , 1963 . — 264 с.
• Шилов Г.Е. Математический анализ (функции одного переменного), часть 3. — М. : Наука , 1970 . — 352 с.

Примечания