Interested Article - Дискретное пространство

Дискре́тное простра́нство в общей топологии и смежных областях математики — это пространство, все точки которого изолированы друг от друга в некотором смысле.

Определения

Пусть $X$ — некоторое множество , а ${\mathcal {T}}$ — семейство всех его подмножеств . Тогда ${\mathcal {T}}$ является топологией на этом множестве, называемой дискретной топологией, а пара $(X,{\mathcal {T}})$ называется дискре́тным топологи́ческим простра́нством .
Пусть $(X,\rho )$ — метрическое пространство , где метрика $\rho$ определена следующим образом:

\rho (x,y)={\begin{cases}1,&x\neq y,\\0,&x=y,\end{cases}}\quad x,y\in X.

Тогда $\rho$ называется дискре́тной ме́трикой , а всё пространство называется дискре́тным метри́ческим простра́нством .

Замечание

Топология, индуцированная дискретной метрикой, является дискретной. Обратное — неверно. Метрика, не являющаяся дискретной, может порождать дискретную топологию.

Примеры

Пусть $X=\{1,\ldots ,n\},$ где $n\in \mathbb {N}$ , и $\rho$ — дискретная метрика на $X$ . Тогда $(X,\rho )$ — дискретное метрическое, а следовательно и топологическое пространство.
Пусть $X=\left\{{\frac {1}{n}}\right\}_{n\in \mathbb {N} }$ и $\rho (x,y)=|x-y|.$ Данная метрика не дискретна, однако она порождает дискретную топологию.

Свойства

Топологическое пространство является дискретным тогда и только тогда, когда каждое его одноточечное подмножество открыто .
Все одноточечные подмножества дискретного топологического пространства образуют базу дискретной топологии.
Дискретное топологическое пространство компактно тогда и только тогда, когда оно конечно .
Дискретное метрическое пространство ограничено .
Любые два дискретных топологических пространства, имеющие одинаковую мощность , гомеоморфны .
Любая функция , определённая на дискретном топологическом пространстве, непрерывна .
Дискретное подмножество евклидова пространства не более чем счётно . Обратное, вообще говоря, неверно.