Interested Article - Матрица Кирхгофа

Матрица Кирхгофа — одно из представлений конечного графа с помощью матрицы. Матрица Кирхгофа представляет дискретный оператор Лапласа для графа. Она используется для подсчета остовных деревьев данного графа ( матричная теорема о деревьях ), а также в спектральной теории графов .

Определение

Дан простой граф с вершинами. Тогда матрица Кирхгофа данного графа будет определяться следующим образом:

Также матрицу Кирхгофа можно определить как разность матриц

где — это матрица смежности данного графа, а — матрица, на главной диагонали которой степени вершин графа, а остальные элементы — нули:

Если граф является взвешенным , то определение матрицы Кирхгофа обобщается. В этом случае элементами главной диагонали матрицы Кирхгофа будут суммы весов рёбер, инцидентных соответствующей вершине. Для смежных (связанных) вершин , где — это вес (проводимость) ребра. Для различных не смежных (не связанных) вершин полагается .

Для взвешенного графа матрица смежности записывается с учетом проводимостей ребер, а на главной диагонали матрицы будут суммы проводимостей ребер инцидентных соответствующим вершинам.

Пример

Пример матрицы Кирхгофа простого графа.

Помеченный граф Матрица Кирхгофа

Свойства

  • Сумма элементов каждой строки (столбца) матрицы Кирхгофа равна нулю:
    .
  • Определитель матрицы Кирхгофа равен нулю:
  • Матрица Кирхгофа простого графа симметрична :
    .
  • Если взвешенный граф представляет собой электрическую сеть, где вес каждого ребра соответствует его проводимости , то миноры матрицы Кирхгофа позволяют вычислить резистивное расстояние между точками и данной сети:
    , здесь — постоянная (алгебраическое дополнение) матрицы Кирхгофа, а — алгебраическое дополнение 2-го порядка, то есть определитель матрицы, получающейся из матрицы Кирхгофа вычеркиванием двух строк и двух столбцов .
  • Существует алгоритм восстановления матрицы Кирхгофа по матрице сопротивлений .
  • 0 является собственным значением матрицы (соответствующий собственный вектор — все единицы), кратность его равна числу связных компонент графа.
  • Остальные собственные значения положительны. Второе по малости значение назвал индексом связности графа, соответствующий собственный вектор — вектор Фидлера (не путать с индексом связности графа Рандича ).

См. также

Источник —

Same as Матрица Кирхгофа