Теоре́ма Вейерштра́сса — теорема математического анализа и общей топологии , которая гласит, что функция , непрерывная на компакте , ограничена на нём и достигает своих точных верхней и нижней граней .

Иногда (в учебных курсах) два утверждения (об ограниченности и достижимости границ) разделяются на две теоремы Вейерштрасса — первую и вторую соответственно.

Формулировка теоремы

Теорема Вейерштрасса формулируется для непрерывных функций , действующих из заданного метрического пространства в множество вещественных чисел .

Теорема Вейерштрасса для непрерывных функций

В математическом анализе рассматриваются числовые пространства, для которых компактными являются произвольные замкнутые и ограниченные множества. На вещественной прямой связные компактные множества — это отрезки, то теорема Вейерштрасса формулируется для отрезков:

Если функция ${\displaystyle f}$ непрерывна на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$ , то она ограничена на нём и притом достигает своих минимального и максимального значений, т. е. существуют ${\displaystyle x_{m},x_{M}\in [a,b]}$ такие, что ${\displaystyle f(x_{m})\leqslant f(x)\leqslant f(x_{M})}$ для всех ${\displaystyle x\in [a,b]}$ .

Теорема Вейерштрасса для полунепрерывных функций

• Пусть функция ${\displaystyle f\colon [a,\;b]\to \mathbb {R} }$ ограничена и полунепрерывна сверху. Тогда

  ${\displaystyle M=\sup \limits _{x\in [a,\;b]}f(x)<\left\vert \infty \right\vert }$ и ${\displaystyle \exists x_{M}\in [a,\;b]\colon f(x_{M})=M.}$

• Пусть функция ${\displaystyle f\colon [a,\;b]\to \mathbb {R} }$ ограничена и полунепрерывна снизу. Тогда

  ${\displaystyle m=\inf \limits _{x\in [a,\;b]}f(x)>-\infty }$ и ${\displaystyle \exists x_{m}\in [a,\;b]\colon f(x_{m})=m.}$

Доказательство

Доказательство теоремы для непрерывных функций

В силу полноты действительных чисел существует (конечная или бесконечная) точная верхняя грань ${\displaystyle M=\sup _{x\in [a,b]}f(x)}$ . Поскольку ${\displaystyle M}$ — точная верхняя грань, существует последовательность ${\displaystyle x_{n}}$ такая, что ${\displaystyle \lim f(x_{n})=M}$ . По теореме Больцано — Вейерштрасса из ограниченной последовательности ${\displaystyle x_{n}}$ можно выделить сходящуюся подпоследовательность ${\displaystyle x_{n_{k}}}$ , предел которой (назовем его ${\displaystyle x_{M}}$ ) также принадлежит отрезку ${\displaystyle [a,b]}$ . В силу непрерывности функции ${\displaystyle f}$ имеем ${\displaystyle f(x_{M})=\lim f(x_{n_{k}})}$ , но с другой стороны ${\displaystyle \lim f(x_{n_{k}})=\lim f(x_{n})=M}$ . Таким образом, точная верхняя грань ${\displaystyle M}$ конечна и достигается в точке ${\displaystyle x_{M}}$ .

Для нижней грани доказательство аналогично.

Доказательство теоремы в общем случае

Пусть ${\displaystyle A}$ — компакт, и функция ${\displaystyle f}$ непрерывна на ${\displaystyle A}$ . Рассмотрим совокупность множеств ${\displaystyle V_{n}=f^{-1}{\big (}(-n,n){\big)}}$ , где ${\displaystyle (-n,n)\subset \mathbb {R} }$ — открытый интервал. Эти множества суть открытые (как полные прообразы открытого множества при непрерывном отображении), и, очевидно, образуют покрытие ${\displaystyle A}$ . По определению компакта из этого покрытия можно выделить конечное подпокрытие ${\displaystyle V_{n_{k}}}$ , откуда имеем ${\displaystyle \forall x\in A:f(x)<\max n_{k}}$ , ограниченность доказана. Достижение максимума и минимума легко доказать от противного, если рассмотреть функции ${\displaystyle [f(x)-\sup f(A)]^{-1}}$ , ${\displaystyle [f(x)-\inf f(A)]^{-1}}$ , и применить к ним только что доказанное утверждение.

Замечания

В предположениях теоремы отрезок нельзя заменить на открытый интервал . Например, функция тангенс

${\displaystyle \operatorname {tg} \colon \left(-{\frac {\pi }{2}},\;{\frac {\pi }{2}}\right)\to \mathbb {R} }$

непрерывна в каждой точке области определения , но не ограничена.

См. также

• Теорема о свойстве Дарбу для непрерывной функции
• Теорема Больцано — Коши

Примечания