Поризм Понселе — классическая теорема проективной геометрии . Назван в честь Жан-Виктора Понселе .

История

Поризм Понселе был открыт французским математиком Жан-Виктором Понселе в 1812—1814 годах, когда он находился в плену в Саратове . В саратовском плену он написал (в основном) свой трактат о проективных свойствах фигур, а также трактат по аналитической геометрии (семь тетрадей, изданных впоследствии — в 1862—1864 годах — под заглавием « Applications d’Analyse et de Géometrie ») ^{[ источник не указан 2183 дня ]} .

Частный случай для треугольников следовал из теоремы Эйлера .

Формулировка

Пусть ${\displaystyle A_{1}A_{2}\ldots A_{n}}$ — многоугольник с ${\displaystyle n}$ различными вершинами, вписанный в конику ${\displaystyle C}$ и описанный около другой коники ${\displaystyle \Gamma }$ . Тогда для любых точек ${\displaystyle B_{1},B_{2}}$ коники ${\displaystyle C}$ , таких, что ${\displaystyle B_{1}\neq B_{2}}$ и ${\displaystyle B_{1}B_{2}}$ касается ${\displaystyle \Gamma }$ , существует многоугольник ${\displaystyle B_{1}B_{2}\ldots B_{n}}$ , вписанный в ${\displaystyle C}$ и описанный около ${\displaystyle \Gamma }$ .

Замечания

• Если коника является окружностью , многоугольники, которые вписаны в один круг и описанные около другого называются бицентрическими многоугольниками , так что это — особый случай поризма Понселе может быть выражен лаконично, учитывая, что каждый бицентрический многоугольник является частью бесконечного множества бицентрических многоугольников относительно одних и тех же двух кругов ^{:p. 94} .

Алгебраическое доказательство

Рассмотрим множество пар вида «точка на внешней конике и касательная, выпущенная из неё ко внутренней». Это множество может быть определено алгебраическим уравнением в произведении проективной плоскости и двойственной к ней (то есть множества прямых на исходной плоскости), которое является проективным благодаря вложению Сегре . Ясно, что в общей конфигурации получившееся алгебраическое многообразие будет невырожденной кривой. Вычислим её род по : это многообразие естественным образом (отображением забывания прямой) проецируется на внешнее коническое сечение, причём над общей точкой будет висеть два прообраза, и лишь только в четырёх точках — точках пересечения конических сечений, существование которых гарантируется теоремой Безу , — оно имеет один прообраз, то есть оно разветвлено в этих четырёх точках, и только в них. Стало быть, эйлерова характеристика накрывающей кривой равна ${\displaystyle 2(2-4)+4=0}$ , то есть кривая имеет род 1 и в силу невырожденности является эллиптической кривой .

Будем стартовать из какой-то точки, проводя касательные. Имея выделенную точку старта и направление обхода, мы получаем последовательность пар типа «точка на внешней конике и касательная, выпущенная из ней ко внутренней». Заметим, что одной невырожденной точке на внешней конике соответствуют две точки на эллиптической кривой (соответствующие двум исходящим из ней касательным), и сумма их как точек эллиптической кривой даёт отображение из внешней коники в эллиптическую кривую, которое является отображением в точку, поскольку может быть поднято на универсальную накрывающую — комплексную плоскость, где, в силу компактности сферы, оно будет ограниченным и, по теореме Лиувилля , постоянным. Стало быть, переброска касательной, исходящей из одной точки, задаётся отображением ${\displaystyle x\mapsto \xi -x}$ , где ${\displaystyle \xi }$ — константа. Аналогично переброска точки, лежащей на касательной, имеет вид ${\displaystyle x\mapsto \zeta -x}$ , а их композиция, таким образом, имеет вид ${\displaystyle x\mapsto \zeta -\xi +x}$ ; но композиция — это построение следующей стороны цепи по предыдущей, и замыкание цепи равносильно тому, что ${\displaystyle \zeta -\xi }$ лежит в кручении эллиптической кривой как группы по сложению, и, стало быть, не зависит от начальной точки; равно так же от неё не зависит и порядок кручения, то есть число шагов, за которое цепь замкнётся.

Вариации и обобщения

Теорема Кэли

Пусть ${\displaystyle f}$ — окружность ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$ , а ${\displaystyle g}$ — эллипс ${\displaystyle ax^{2}+by^{2}=1}$ . Тогда условие на зацикливание цепи задаётся в терминах ряда Тейлора функции ${\displaystyle {\sqrt {(a^{2}+t)(b^{2}+t)(1+t)}}=c_{0}+c_{1}t+c_{2}t^{2}+\dots }$ . (Каждый коэффициент ${\displaystyle c_{i}}$ вычисляется через ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ , например, ${\displaystyle c_{0}=ab}$ .) А именно:

1. Цепь Понселе пары ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$ зацикливается за ${\displaystyle 2m+1}$ шагов тогда и только тогда, когда

   ${\displaystyle {\begin{vmatrix}c_{2}&\dots &c_{m+1}\\\vdots &&\vdots \\c_{m+1}&\dots &c_{2m}\end{vmatrix}}=0.}$

2. Цепь Понселе пары ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$ зацикливается за ${\displaystyle 2m}$ шагов тогда и только тогда, когда

   ${\displaystyle {\begin{vmatrix}c_{3}&\dots &c_{m+1}\\\vdots &&\vdots \\c_{m+1}&\dots &c_{2m-1}\end{vmatrix}}=0.}$

Теорема Шварца

Пусть ${\displaystyle A_{0}A_{1}\dots }$ — цепь Понселе. Обозначим через ${\displaystyle \ell _{i}}$ прямую ${\displaystyle A_{i}A_{i+1}}$ и рассмотрим точки пересечения ${\displaystyle B_{i,j}=\ell _{i}\cap \ell _{j}}$ . Тогда для любого целого ${\displaystyle k}$

1. Все точки ${\displaystyle B_{i,i+k}}$ лежат на одном коническом сечении.
2. Все точки ${\displaystyle B_{i,k-i}}$ лежат на одном коническом сечении.

Многомерный аналог

Алгебраическое доказательство теоремы Понселе опирается на тот факт, что пересечение двух квадрик в трёхмерном проективном пространстве — это эллиптическая кривая . В 1972 году Майлз Рид в своей диссертации доказал обобщение этого факта. Именно, теорема Рида утверждает, что многообразие, параметризующее линейные ${\displaystyle (n-1)}$ -мерные подпространства в ${\displaystyle (2n+1)}$ -мерном проективном пространстве, лежащие на пересечении двух ${\displaystyle 2n}$ -мерных квадрик (при условии, что это пересечение неособо), есть некоторой (разветвлённого двойного накрытия рациональной кривой). Эту гиперэллиптическую кривую можно построить как геометрическое место ${\displaystyle (n-1)}$ -мерных подпространств на пересечении двух квадрик, которые пересекают некоторое фиксированное ${\displaystyle (n-1)}$ -мерное подпространство, также лежащее на пересечении квадрик, по подпространству размерности не менее ${\displaystyle n-2}$ . Если эти квадрики приведены к главным осям (то есть имеют однородные уравнения

${\displaystyle z_{0}^{2}+z_{1}^{2}+\dots +z_{2n+1}^{2}=0,}$

${\displaystyle b_{0}z_{0}^{2}+b_{1}z_{1}^{2}+\dots +b_{2n+1}z_{2n+1}^{2}=0}$

для некоторых коэффициентов ${\displaystyle b_{0},b_{1},\dots b_{2n+1}}$ ), то эта кривая бирационально изоморфна кривой, заданной уравнением

${\displaystyle y^{2}=(x-b_{0})(x-b_{1})\dots (x-b_{2n+1}).}$

заметил, что закон сложения на таком многообразии можно определять геометрически. Именно, если ${\displaystyle Q}$ — какая-то квадрика из пучка , порождённого нашими двумя квадриками (обозначим их за ${\displaystyle Q_{1}}$ и ${\displaystyle Q_{2}}$ ), ${\displaystyle E_{1}}$ и ${\displaystyle E_{2}}$ — два ${\displaystyle n}$ -мерных подпространства, лежащих на ${\displaystyle Q}$ и относящихся к одному и тому же связному семейству, и ${\displaystyle E_{i}}$ высекает на пересечении двух квадрик два ${\displaystyle (n-1)}$ -мерных подпространства ${\displaystyle \ell _{i1}}$ и ${\displaystyle \ell _{i2}}$ , то сложение однозначно определяется правилом ${\displaystyle \ell _{11}+\ell _{12}=\ell _{21}+\ell _{22}}$ (и выбором нуля). К примеру, если ${\displaystyle n=1}$ , то сложение точек на эллиптической кривой определяется следующим образом. Выберем точку ${\displaystyle O}$ в качестве нуля. Для того, чтобы сложить точки ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ , проведём прямую ${\displaystyle AB}$ , и рассмотрим квадрику из пучка, на которой эта прямая лежит (такая квадрика единственна и может быть построена, например, как объединение секущих прямой ${\displaystyle AB}$ , дважды пересекающих эллиптическую кривую). Прямая ${\displaystyle AB}$ , будучи образующей двумерной квадрики, принадлежит к однопараметрическому связному семейству. Выберем из этого семейства прямую ${\displaystyle p}$ , проходящую через точку ${\displaystyle O}$ . Вторая точка пересечения прямой ${\displaystyle p}$ с эллиптической кривой и будет суммой искомой суммой ${\displaystyle A+B}$ .

См. также

• Поризм Штейнера — похожее утверждения для цепей окружностей.
• Теорема Эйлера (планиметрия) включает частный случай поризма Понселе для ${\displaystyle n=3}$ .

Примечания

Литература

• Bos, H. J. M.; Kers, C.; Oort, F.; Raven, D. W. Poncelet’s closure theorem. Expositiones Mathematicae 5 (1987), no. 4, 289—364.

Ссылки

• .
• Марсель Берже. Геометрия: Пер. с французского. — М.: Мир, 1984. — т. 2, 16.6, с. 140—148.
• Табачников С. Л., Фукс Д. Б. Лекция 29 // . — МЦНМО, 2011. — 512 с. — 2000 экз. — ISBN 978-5-94057-731-7 .
• В. В. Прасолов . от 27 февраля 2014 на Wayback Machine , Матем. просв., сер. 3, 5, МЦНМО, М., 2001, 140—144.
• Г. Б. Шабат . от 27 апреля 2016 на Wayback Machine , Летняя школа «Современная математика», 2014 г. Дубна.