Механика сплошных сред
Сплошная среда
Классическая механика Закон сохранения массы · Закон сохранения импульса
Напряжение · Тензор · Твёрдые тела · Упругость · Пластичность · Закон Гука · Реология · Вязкоупругость
Гидродинамика Жидкость · Гидростатика · Гидродинамика · Вязкость · Ньютоновская жидкость · Неньютоновская жидкость · Поверхностное натяжение
Основные уравнения Уравнение непрерывности · Уравнение Эйлера · Уравнение Громеки — Лэмба · Уравнение Бернулли · Интеграл Коши — Лагранжа · Уравнения Навье — Стокса · Уравнение вихря · Уравнение диффузии · Закон Гука
См. также: Портал:Физика

Тео́рия упру́гости — раздел механики сплошных сред , изучающий деформации упругих твёрдых тел , их поведение при статических и динамических нагрузках.

Главная задача теории упругости — выяснить, каковы будут деформации тела и как они будут меняться со временем при заданных внешних воздействиях. Основной системой уравнений для решения этой задачи являются три уравнения равновесия, содержащие шесть неизвестных компонентов симметричного тензора напряжений . Симметричность тензора напряжений постулируется при этом . Для замыкания системы используют так называемые уравнения совместности деформаций (действительно, для тела, остающегося в процессе деформации сплошным, есть компоненты тензора деформации , которые не могут быть независимыми — эти компоненты выражаются через три функции — составляющие перемещения точки тела: симметричные ). Шесть уравнений совместности деформаций и уравнения обобщённого закона Гука замыкают задачу теории упругости.

Теория упругости является фундаментом инженерного дела и архитектуры. Кроме очевидных статических задач (устойчивость зданий и других сооружений, прочность транспортных средств), теория упругости привлекается и для решения динамических задач (например, устойчивость конструкций при землетрясениях и под действием мощных звуковых волн; различных аппаратов и установок). Теория упругости здесь пересекается с материаловедением и служит одним из опорных пунктов при поиске новых материалов. Теория упругости важна также и для сейсморазведки .

Подходы к постановке задачи

Различают три варианта постановок задач теории упругости.

1. Постановка задач теории упругости в перемещениях

Основные неизвестные — три компоненты вектора перемещений (в дальнейшем — перемещения). Они должны удовлетворять трём уравнениям равновесия, записанным в перемещениях ( ). В каждой неособенной точке поверхности тела перемещения должны удовлетворять трём граничным условиям. Граничные условия могут быть сформулированы в трёх вариантах:

• заданы перемещения;
• заданы комбинации напряжений, записанные через нормальные и касательные производные от перемещений;
• заданы комбинации напряжений и перемещений, записанные через нормальные и касательные производные от перемещений и через сами перемещения.

По известным перемещениям деформации определяются дифференцированием (симметричные соотношения Коши). Найденные по перемещениям деформации тождественно удовлетворяют шести уравнениям совместности деформаций По известным перемещениям можно найти дифференцированием компоненты и (антисимметричные соотношения Коши). По известным деформациям напряжения определяются алгебраически (уравнения закона Гука ).

2. Постановка задач теории упругости в напряжениях. Основные неизвестные — шесть компонент симметричного тензора напряжений. Они должны удовлетворять трём уравнениям равновесия, записанным в напряжениях, и шести уравнениям совместности деформаций , записанным с помощью уравнений закона Гука в напряжениях. Деформации определяются алгебраически по найденным напряжениям из обратных уравнений закона Гука . Перемещения интегрируются в квадратурах по найденным деформациям с помощью , причем интегрируемость обеспечена, так как удовлетворены уравнения совместности деформаций . Для упрощения постановки напряжения можно выразить через тензорный потенциал так, что уравнения равновесия будут удовлетворяться тождественно, а уравнения совместности распадутся на отдельные уравнения для каждой из компонент тензора-потенциала напряжений. Удерживая те или иные компоненты симметричного тензора-потенциала напряжений, а остальные полагая нулю, можно получить как частные случаи известные постановки Максвелла , , Эйри .

3. Постановка задач теории упругости в смешанном виде.

Основные понятия теории упругости

Основными понятиями теории упругости являются напряжения, действующих на малых площадях, которые можно мысленно провести в теле через заданную точку P, деформации в малой окрестности точки P и перемещения самой точки P. Точнее говоря, вводятся тензор напряжений ${\displaystyle \sigma _{ij}\,\!}$ , тензор малых деформаций ${\displaystyle \varepsilon _{ij}\,\!}$ и вектор перемещения u _i .

Краткое обозначение ${\displaystyle \sigma _{ij}\,\!}$ , где индексы i, j принимают значения 1, 2, 3 (или x, y, z ) следует понимать как матрицу в вида:

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma _{ij}}}={\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\end{bmatrix}}=\left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}&\sigma _{xy}&\sigma _{xz}\\\sigma _{yx}&\sigma _{yy}&\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}&\sigma _{zy}&\sigma _{zz}\\\end{matrix}}\right]\,\!}$

Аналогично следует понимать и краткое обозначение тензора ${\displaystyle \varepsilon _{ij}\,\!}$ .

Если физическая точка тела P вследствие деформации заняла новое положение в пространстве P', то вектор перемещения обозначается ${\displaystyle \mathbf {PP'} }$ с компонентами ( u _x ,u _y ,u _z ), или, сокращенно u _i . В теории малых деформаций компоненты u _i и ${\displaystyle \varepsilon _{ij}\,\!}$ считаются малыми величинами (строго говоря, бесконечно малыми). Компоненты тензора ${\displaystyle \varepsilon _{ij}\,\!}$ , который также называется или линейный тензор деформации и вектора u _i связаны зависимостями:

${\displaystyle \varepsilon _{ij}={\frac {1}{2}}\left(u_{i,j}+u_{j,i}\right)=\left[{\begin{matrix}\varepsilon _{xx}&\varepsilon _{xy}&\varepsilon _{xz}\\\varepsilon _{yx}&\varepsilon _{yy}&\varepsilon _{yz}\\\varepsilon _{zx}&\varepsilon _{zy}&\varepsilon _{zz}\\\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}&{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}+{\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}\right)&{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{x}}{\partial z}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial x}}\right)\\{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}\right)&{\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}&{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{y}}{\partial z}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial y}}\right)\\{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{z}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial z}}\right)&{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{z}}{\partial y}}+{\frac {\partial u_{y}}{\partial z}}\right)&{\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}\\\end{matrix}}\right]\,\!}$

Из последней записи видно, что ${\displaystyle \varepsilon _{ij}=\varepsilon _{ji}\,\!}$ , поэтому тензор деформации является симметричным по определению.

Если упругое тело под действием внешних сил находится в равновесии (то есть скорости всех его точек равны нулю), то в равновесии находится и любая его часть, которую мысленно можно из него выделить. Из тела выделяется бесконечно малый прямоугольный параллелепипед, грани которого параллельны координатным плоскостям декартовой системы. Из условия равновесия параллелепипеда с размерами ребер dx, dy, dz, рассмотрев условия равновесия сил в проекциях, можно получить:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial \sigma _{xx}}{\partial x}}+{\frac {\partial \sigma _{xy}}{\partial y}}+{\frac {\partial \sigma _{xz}}{\partial z}}+F_{x}=0\\&{\frac {\partial \sigma _{yx}}{\partial x}}+{\frac {\partial \sigma _{yy}}{\partial y}}+{\frac {\partial \sigma _{yz}}{\partial z}}+F_{y}=0\\&{\frac {\partial \sigma _{zx}}{\partial x}}+{\frac {\partial \sigma _{zy}}{\partial y}}+{\frac {\partial \sigma _{zz}}{\partial z}}+F_{z}=0\\\end{aligned}}}$

Аналогично получаются уравнения равновесия, выражающих равенство нулю главного момента всех сил, действующих на параллелепипед, которые приводятся к виду:

${\displaystyle \sigma _{xy}=\sigma _{yx},\sigma _{yz}=\sigma _{zy},\sigma _{zx}=\sigma _{xz}\,\!}$

Это равенство означает, что тензор напряжений является симметричным тензором и число неизвестных компонент тензора напряжений сводится к 6. Есть только три уравнения равновесия, то есть уравнений статики недостаточно для решения задачи. Выход из положения состоит в том, чтобы выразить напряжение ${\displaystyle \sigma _{ij}\,\!}$ через деформации ${\displaystyle \varepsilon _{ij}\,\!}$ с помощью уравнений закона Гука , а затем деформации ${\displaystyle \varepsilon _{ij}\,\!}$ выразить через перемещения u _i с помощью формул Коши, и результат подставить в уравнение равновесия. При этом получается три дифференциальных уравнения равновесия относительно трех неизвестных функций u _x u _y u _z , то есть число неизвестных, будет соответствовать числу уравнений. Эти уравнения называются уравнениями Навье — Коши.

${\displaystyle \left(\lambda +\mu \right){\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}\right)+\mu \left({\frac {\partial ^{2}u_{x}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u_{x}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u_{x}}{\partial z^{2}}}\right)+F_{x}=0\,\!}$

${\displaystyle \left(\lambda +\mu \right){\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}\right)+\mu \left({\frac {\partial ^{2}u_{y}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u_{y}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u_{y}}{\partial z^{2}}}\right)+F_{y}=0\,\!}$

${\displaystyle \left(\lambda +\mu \right){\frac {\partial }{\partial z}}\left({\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}\right)+\mu \left({\frac {\partial ^{2}u_{z}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u_{z}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u_{z}}{\partial z^{2}}}\right)+F_{z}=0\,\!}$

где параметры Ламе :

${\displaystyle \lambda ={\frac {E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )}}}$

${\displaystyle \mu ={\frac {E}{2(1+\nu )}}}$ .

Анизотропные однородные среды

Для анизотропных сред тензор жесткости ${\displaystyle C_{ijkl}\,\!}$ сложнее. Симметрия тензора напряжений ${\displaystyle \sigma _{ij}\,\!}$ означает, что существует не более 6 различных элементов напряжений. Аналогично, существует не более 6 различных элементов тензора деформации ${\displaystyle \varepsilon _{ij}\,\!}$ . Следовательно, тензор жесткости четвёртого порядка ${\displaystyle C_{ijkl}\,\!}$ может быть записан в виде матрицы ${\displaystyle C_{\alpha \beta }\,\!}$ (тензор второго порядка). Запись Фойгта является стандартным способом отображения для тензорных индексов,

${\displaystyle {\begin{matrix}ij&=\\\Downarrow &\\\alpha &=\end{matrix}}{\begin{matrix}11&22&33&23,32&13,31&12,21\\\Downarrow &\Downarrow &\Downarrow &\Downarrow &\Downarrow &\Downarrow &\\1&2&3&4&5&6\end{matrix}}\,\!}$

С помощью этих обозначений можно записать матрицу упругости для любой линейно-упругой среды как:

${\displaystyle C_{ijkl}\Rightarrow C_{\alpha \beta }={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&C_{14}&C_{15}&C_{16}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}&C_{24}&C_{25}&C_{26}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}&C_{34}&C_{35}&C_{36}\\C_{14}&C_{24}&C_{34}&C_{44}&C_{45}&C_{46}\\C_{15}&C_{25}&C_{35}&C_{45}&C_{55}&C_{56}\\C_{16}&C_{26}&C_{36}&C_{46}&C_{56}&C_{66}\end{bmatrix}}.\,\!}$

Как показано, матрица ${\displaystyle C_{\alpha \beta }\,\!}$ симметрична. Это результат существования функции плотности энергии деформации, которая удовлетворяет ${\displaystyle \sigma _{ij}={\frac {\partial W}{\partial \varepsilon _{ij}}}}$ . Следовательно, существует не более 21 различных констант ${\displaystyle C_{\alpha \beta }\,\!}$ .

Изотропный частный случай имеет 2 независимых элемента:

${\displaystyle C_{\alpha \beta }={\begin{bmatrix}K+4\mu \ /3&K-2\mu \ /3&K-2\mu \ /3&0&0&0\\K-2\mu \ /3&K+4\mu \ /3&K-2\mu \ /3&0&0&0\\K-2\mu \ /3&K-2\mu \ /3&K+4\mu \ /3&0&0&0\\0&0&0&\mu \ &0&0\\0&0&0&0&\mu \ &0\\0&0&0&0&0&\mu \ \end{bmatrix}}.\,\!}$

Простейший анизотропный случай кубической симметрии имеет 3 независимых элемента:

${\displaystyle C_{\alpha \beta }={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{12}&0&0&0\\C_{12}&C_{11}&C_{12}&0&0&0\\C_{12}&C_{12}&C_{11}&0&0&0\\0&0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&0&C_{44}&0\\0&0&0&0&0&C_{44}\end{bmatrix}}.\,\!}$

Случай поперечной изотропии, также называемой полярной анизотропией (с одной осью симметрии), имеет 5 независимых элементов:

${\displaystyle C_{\alpha \beta }={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{11}-2C_{66}&C_{13}&0&0&0\\C_{11}-2C_{66}&C_{11}&C_{13}&0&0&0\\C_{13}&C_{13}&C_{33}&0&0&0\\0&0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&0&C_{44}&0\\0&0&0&0&0&C_{66}\end{bmatrix}}.\,\!}$

Когда поперечная изотропия слаба (то есть близка к изотропии), альтернативная параметризация, использующая параметры Томсена, оказывается удобной для записи формул скоростей волн.

Случай ортотропии (симметрия кирпича) имеет 9 независимых элементов:

${\displaystyle C_{\alpha \beta }={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&0&0&0\\C_{12}&C_{22}&C_{23}&0&0&0\\C_{13}&C_{23}&C_{33}&0&0&0\\0&0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&0&C_{55}&0\\0&0&0&0&0&C_{66}\end{bmatrix}}.\,\!}$

См. также

• Теория пластичности
• Тензор напряжений
• Тензор деформации
• Закон Гука

Литература

• Болотин В. В. Динамическая устойчивость упругих систем. — М. : Гостехиздат, 1956. — 600 с.
• Ильюшин А. А. Механика сплошной среды. — М. : Изд-во Моск. ун-та, 1978. — 287 с.
• Лихачёв В. А., Малинин В. Г. Структурно-аналитическая теория прочности. — СПб. : Наука, 1993. — 471 с.
• Лурье А. И. Теория упругости. — М. : Наука, 1970. — 940 с.
• Пановко Я. Г. , Губанова И. И. Устойчивость и колебания упругих систем: Современные концепции, ошибки и парадоксы. — М. : Наука, 1979. — 384 с.
• Работнов Ю. Н. Механика деформируемого твёрдого тела. — М. : Наука, 1979. — 744 с.
• Седов Л. И. . — М. : Наука, 1970. — 492 с.
• Седов Л. И. . — М. : Наука, 1970. — 568 с.
• Трусделл К. . — М. : Наука, 1975. — 592 с.

Ссылки