В математике Признак сходимости числового ряда — это метод, позволяющий установить сходимость или расходимость бесконечного ряда:

${\displaystyle a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots +a_{n}+\ldots \quad }$ Краткая запись: ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$

Здесь ${\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3}\dots }$ — последовательность вещественных или комплексных чисел ; эти числа называются членами ряда .

Необходимое условие сходимости рядов

Если с ростом ${\displaystyle n}$ предел члена ряда ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}}$ не существует или не равен нулю, то ряд расходится .

Следовательно, условие ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0}$ необходимо (но не достаточно) для сходимости ряда. Другими словами, если это условие не выполнено, то ряд заведомо расходится, однако если оно выполнено, то нет гарантии, что ряд сходится — см., например, гармонический ряд .

Основные признаки сходимости

Ряды с неотрицательными членами

Ряды с неотрицательными членами называют также знакоположительными или просто положительными .

Критерий сходимости знакоположительных рядов

Знакоположительный ряд ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}}$ сходится тогда и только тогда , когда последовательность его частичных сумм ${\displaystyle S_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}}$ ограничена сверху .

Признак сравнения с мажорантой

Заключение о сходимости или расходимости ряда можно сделать на основании почленного сравнения его с другим рядом (« мажорантой »), поведение которого уже известно .

Пусть даны два знакоположительных ряда: ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ и ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}$ . Если, начиная с некоторого номера ( ${\displaystyle n>N}$ ), выполняется неравенство: ${\displaystyle 0\leqslant a_{n}\leqslant b_{n}}$ , то : из сходимости ряда ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}$ следует сходимость ряда ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ ; из расходимости ряда ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ следует расходимость и ряда ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}$ .

Следствие для рядов с членами произвольного знака:

Если ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}$ абсолютно сходится и начиная с некоторого номера все ${\displaystyle |a_{n}|\leqslant |b_{n}|}$ , то и ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ сходится абсолютно.

Пример . Докажем сходимость ряда обратных квадратов :

${\displaystyle {\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}+\dots }$

Для него рядом-мажорантой можно выбрать ряд:

${\displaystyle 1+{\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{2\cdot 3}}+{\frac {1}{3\cdot 4}}+{\frac {1}{4\cdot 5}}+\cdots }$

Частичную сумму этого ряда можно представить в виде:

${\displaystyle S_{n}=1+\left(1-{\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}\right)+\left({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}\right)+\cdots \ +\left({\frac {1}{n-1}}-{\frac {1}{n}}\right)=2-{1 \over n}}$

Поэтому ряд сходится, и его сумма равна 2. Следовательно, по признаку сравнения , и ряд обратных квадратов сходится к некоторому числу в интервале ${\displaystyle (1,2)}$ .

Признак Раабе

Этот признак сильнее, чем и .

Если для ряда ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ существует предел: ${\displaystyle R=\lim _{n\to \infty }n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right),}$ то при ${\displaystyle R>1}$ ряд сходится, а при ${\displaystyle R<1}$ — расходится. Если ${\displaystyle R=1}$ , то данный признак не позволяет сделать определённый вывод о сходимости ряда .

Интегральный признак Коши — Маклорена

Этот признак позволяет с полной определённостью определить, сходится или расходится ряд.

Пусть функция ${\displaystyle f(x)}$ определена при ${\displaystyle x\geqslant 1}$ , неотрицательна, монотонно убывает и ${\displaystyle f(n)=a_{n}}$ . Тогда ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ и несобственный интеграл: ${\displaystyle \int \limits _{1}^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{t\to \infty }\int \limits _{1}^{t}f(x)\,dx}$ сходятся или расходятся одновременно .

Пример . Выясним сходимость ряда для дзета-функции Римана (в вещественном случае):

${\displaystyle {\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}+{\frac {1}{5^{s}}}+\dots }$

Для него порождающая функция имеет вид: ${\displaystyle 1/x^{s}}$ . Вычислим интеграл:

${\displaystyle \int \limits _{1}^{\infty }{\frac {1}{x^{s}}}\,dx={\frac {1}{s-1}},}$ если ${\displaystyle s>1}$ , или ${\displaystyle \infty ,}$ если ${\displaystyle s\leqslant 1.}$ Вывод: данный ряд сходится при ${\displaystyle s>1}$ и расходится при ${\displaystyle s\leqslant 1}$ .

Признак Гаусса

Пусть для знакоположительного ряда ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ отношение ${\displaystyle {\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}}$ может быть представлено в виде: ${\displaystyle {\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}=\lambda +{\frac {\mu }{n}}+{\frac {\theta _{n}}{n^{2}}},}$ где ${\displaystyle \lambda ,\mu }$ — постоянные, а последовательность ${\displaystyle \{\theta _{n}\}}$ ограничена. Тогда : ряд сходится, если либо ${\displaystyle \lambda >1,}$ либо ${\displaystyle \lambda =1,\mu >1;}$ ряд расходится, если либо ${\displaystyle \lambda <1,}$ либо ${\displaystyle \lambda =1,\mu \leqslant 1.}$

Признак Куммера

Признак Куммера— чрезвычайно общий и гибкий признак сходимости рядов с положительными членами. Фактически он представляет собой схему для конструирования конкретных признаков .

Пусть даны знакоположительный ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ и последовательность положительных чисел ${\displaystyle \{c_{n}\}}$ такая, что ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{c_{n}}}}$ расходится. Если, начиная с некоторого номера, выполняется неравенство: ${\displaystyle K_{n}=c_{n}{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-c_{n+1}\geqslant \delta ,}$ где ${\displaystyle \delta }$ .— положительная постоянная, то ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ сходится. Если же, начиная с некоторого номера, ${\displaystyle K_{n}\leqslant 0,}$ то ряд расходится.

Чаще на практике применяют предельную форму признака Куммера: находим ${\displaystyle K=\lim _{n\to \infty }K_{n},}$ тогда в случае ${\displaystyle K>0}$ ряд сходится, а при ${\displaystyle K<0}$ — расходится.

Из признака Куммера получаются ряд других признаков:

• При ${\displaystyle c_{n}=1}$ — признак Даламбера ;
• При ${\displaystyle c_{n}=n}$ — признак Раабе ;
• При ${\displaystyle c_{n}=n\,\mathrm {ln} \,n}$ — признак Бертрана .

Признак Бертрана

Если для ряда ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ существует предел: ${\displaystyle B=\lim _{n\to \infty }\ln n\cdot \left(n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)-1\right),}$ то при ${\displaystyle B>1}$ ряд сходится, а при ${\displaystyle B<1}$ — расходится. Если ${\displaystyle B=1}$ , то данный признак не позволяет сделать определённый вывод о сходимости ряда .

Знакопеременные ряды

Знакопеременными называются ряды, члены которых могут быть как положительны, так и отрицательны.

Признак Даламбера

Этот признак также известен как критерий Даламбера . Он проще, чем признак Коши, однако слабее — если работает признак Даламбера, то всегда работает и признак Коши, однако существуют ряды, к которым признак Коши примени́м, а признак Даламбера не даёт результатов .

Если существует ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=r,}$ то: если ${\displaystyle r<1,}$ то ряд абсолютно сходится ; если ${\displaystyle r>1,}$ то ряд расходится; если ${\displaystyle r=1}$ , то данный признак не позволяет сделать определённый вывод о сходимости ряда.

Пример . Исследуем сходимость ряда ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }n!\left({\frac {x}{n}}\right)^{n},}$ где ${\displaystyle x>0.}$ Вычислим предел:

${\displaystyle r=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right)=\lim _{n\to \infty }{\frac {n^{n}x}{(n+1)^{n}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {x}{(1+1/n)^{n}}}={\frac {x}{e}}}$

Следовательно, ряд сходится при ${\displaystyle x<e}$ и расходится при ${\displaystyle x>e.}$ Случай ${\displaystyle x=e}$ следует разобрать отдельно; проверка показывает, что тогда члены ряда не убывают ( ${\displaystyle (1+1/n)^{n}<e}$ , поэтому ${\displaystyle {\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}>1,}$ ) так что и в этом случае ряд расходится.

Радикальный признак Коши

Если существует ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}=r,}$ то: если ${\displaystyle r<1,}$ то ряд сходится, причём абсолютно ; если ${\displaystyle r>1,}$ то ряд расходится; если ${\displaystyle r=1}$ , то данный признак не позволяет сделать определённый вывод о сходимости ряда .

Признак Коши сложнее, однако сильнее, чем признак Даламбера: если признак Даламбера подтверждает сходимость или расходимость ряда, то и признак Коши делает то же, однако обратное неверно .

Пример . Исследуем ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {C}{a_{n}}}\right)^{n},}$ где ${\displaystyle C>0,\{a_{n}\}}$ — последовательность положительных чисел, причём ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=A.}$

${\displaystyle r=\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{\left({\frac {C}{a_{n}}}\right)^{n}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {C}{a_{n}}}={\frac {C}{A}}.}$

Согласно признаку Коши, возможны три случая.

• Если ${\displaystyle 0<A<+\infty ,}$ то при ${\displaystyle C<A}$ ряд сходится, при ${\displaystyle C>A}$ — расходится, при ${\displaystyle C=A}$ определённый вывод сделать нельзя.
• Если ${\displaystyle A=0,}$ то ряд расходится.
• Если ${\displaystyle A=+\infty ,}$ ряд сходится.

Признак Лейбница для знакочередующихся рядов

Этот признак также называют критерий Лейбница .

Пусть для знакочередующегося ряда : ${\displaystyle S=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}a_{n}}$ , где ${\displaystyle a_{n}\geqslant 0}$ , выполняются следующие условия: последовательность ${\displaystyle \{a_{n}\},}$ начиная с некоторого номера ( ${\displaystyle n>N}$ ) монотонно убывает: ${\displaystyle a_{n+1}\leqslant a_{n}}$ ; ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0.}$ Тогда такой ряд сходится .

Признак Абеля

Числовой ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{a_{n}}{b_{n}}}$ сходится, если выполнены следующие условия : Последовательность ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ монотонна и ограничена. Ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{b_{n}}}$ сходится.

Признак Дирихле

Пусть выполнены условия: последовательность частичных сумм ${\displaystyle B_{n}=\sum _{k=1}^{n}b_{k}}$ ограничена; последовательность ${\displaystyle a_{n}}$ , начиная с некоторого номера, монотонно убывает: ${\displaystyle a_{n}\geqslant a_{n+1}}$ ; ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0}$ . Тогда ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}}$ сходится.

Описанные выше признаки Лейбница и Абеля вытекают из признака Дирихле и поэтому слабее последнего .

Вариации и обобщения

Хотя большинство признаков имеют дело с сходимостью бесконечных рядов, их нередко можно использовать, чтобы показать сходимость или расходимость бесконечных произведений . Этого можно добиться, используя следующую теорему:

Теорема . Пусть ${\displaystyle \left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }}$ — последовательность положительных чисел. Тогда бесконечное произведение ${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }(1+a_{n})}$ сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ .

Также аналогично, если ${\displaystyle 0<a_{n}<1}$ , то ${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }(1-a_{n})}$ имеет ненулевой предел тогда и только тогда, когда ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ сходится. Это можно доказать, логарифмируя произведение .

Примечания

Литература

• Воробьёв Н. Н. Теория рядов. — 4-е изд. — М. : Наука, 1979. — 408 с. — (Избранные главы высшей математики для инженеров и студентов втузов).
• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — Изд. 6-е. — М. : Наука, 1966. — Т. 2. — 800 с.

Ссылки

• Матвеева Т. А., Светличная В. Б., Короткова Н. Н. (неопр.) . Дата обращения: 22 сентября 2020.
• (неопр.) . Дата обращения: 22 сентября 2020.