Interested Article - Круг сходимости

Круг сходимости степенного ряда $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-z_{0})^{n}$ — это круг вида

D=\{z:|z-z_{0}|<R\}

,

z\in \mathbb {C}

,

в котором ряд абсолютно сходится , а вне его, при $|z-z_{0}|>R$ , расходится . Иными словами, круг сходимости степенного ряда есть внутренность множества точек сходимости ряда. Круг сходимости может вырождаться в пустое множество, когда $R=0$ , и может совпадать со всей плоскостью переменного $z$ , когда $R=\infty$ .

Радиус сходимости

Радиус круга сходимости называется радиусом сходимости ряда.

Радиус сходимости ряда Тейлора аналитической функции равен расстоянию от центра ряда до множества особых точек функции, и может быть вычислен по формуле Коши — Адамара :

{1 \over R}={\varlimsup \limits _{n\rightarrow \infty }}\,|a_{n}|^{1/n}

Эта формула выводится на основе признака Коши .

Теорема Островского — Адамара

Для степенного ряда

f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }\alpha _{k}(z-z_{0})^{k}

,

у которого почти все коэффициенты равны нулю, в том смысле, что последовательность ненулевых коэффициентов $a_{k(i)}$ удовлетворяет

{\frac {k(i+1)}{k(i)}}>1+\delta

для некоторого фиксированного $\delta >0$ , круг с центром $z_{0}$ и радиусом, равным радиусу сходимости , является естественной границей — аналитическое продолжение функции, определяемой таким рядом , невозможно за пределы круга.