Комплексная функция — основной объект изучения теории функций комплексной переменной , комплекснозначная функция комплексного аргумента: ${\displaystyle f\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} }$ .

Как и комплекснозначная функция вещественной переменной может быть представлена в виде:

${\displaystyle f(z)=u(z)+iv(z)}$ ,

где ${\displaystyle u(z)}$ и ${\displaystyle v(z)}$ — вещественнозначные функции комплексного аргумента, называемые соответственно вещественной и мнимой частью функции ${\displaystyle f(z)}$ . В отличие от вещественных функций, между компонентами разложения имеется более глубокая связь, например, для того, чтобы функция ${\displaystyle f(z)}$ была дифференцируема в смысле функции комплексной переменной, должны выполняться условия Коши — Римана :

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}}$ ;

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}}$ .

Примерами аналитических функций комплексной переменной являются: степенная функция , экспонента , гамма-функция , дзета-функция Римана , хребтовая функция и многие другие, а также обратные им функции и любые их комбинации. Однако действительная часть комплексного числа ${\displaystyle \mathrm {Re} \,z}$ , мнимая часть ${\displaystyle \mathrm {Im} \,z}$ , комплексное сопряжение ${\displaystyle {\bar {z}}}$ , модуль ${\displaystyle r=|z|}$ и аргумент ${\displaystyle \varphi (z)}$ аналитическими функциями комплексного переменного не являются, так как не удовлетворяют условиям Коши — Римана.

Литература

• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М. : Наука , 1969 . — 577 с.
• Титчмарш Е. Теория функций: Пер. с англ. — 2-е изд., перераб. — М. : Наука , 1980 . — 464 с.
• Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного: Пособие для высшей школы. — М. — Л. : Государственное издательство, 1927 . — 316 с.
• Евграфов М. А. Аналитические функции. — 2-е изд., перераб. и дополн. — М. : Наука , 1968 . — 472 с.
• Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной. — М. : Наука, 1974. — 320 с.