Interested Article - Энергия Ферми

Энергия (уровень) Фе́рми ( ) системы невзаимодействующих фермионов — это увеличение энергии основного состояния системы при добавлении одной частицы. Энергия Ферми эквивалентна химическому потенциалу системы в её основном состоянии при абсолютном нуле температур . Энергия Ферми может также интерпретироваться как максимальная энергия фермиона в основном состоянии при абсолютном нуле температур. Энергия Ферми — одно из центральных понятий физики твёрдого тела.

Для нерелятивистских невзаимодействующих частиц со спином 1/2 в трёхмерном пространстве

Название дано в честь итальянского физика Энрико Ферми . Здесь - приведенная постоянная Планка , - масса фермиона, - концентрация частиц .

Фермионы — частицы с полуцелым спином , обычно 1/2, такие, как электроны — подчиняются принципу запрета Паули , согласно которому две одинаковые частицы, образуя квантово-механическую систему (например, атом), не могут принимать одно и то же квантовое состояние. Следовательно, фермионы подчиняются статистике Ферми — Дирака . Основное состояние невзаимодействующих фермионов строится начиная с пустой системы и постепенного добавления частиц по одной, последовательно заполняя состояния в порядке возрастания их энергии (например, заполнение электронами электронных орбиталей атома). Когда необходимое число частиц достигнуто, энергия Ферми равна энергии самого высокого заполненного состояния (или самого низкого незанятого состояния: в случае макроскопической системы различие неважно). Поэтому энергию Ферми называют также уровнем Фе́рми . Частицы с энергией, равной энергии Ферми, двигаются со скоростью, называемой скоростью Фе́рми .

В свободном электронном газе (квантово-механическая версия идеального газа фермионов) квантовые состояния могут быть помечены согласно их импульсу . Нечто подобное можно сделать для периодических систем типа электронов, движущихся в атомной решётке металла , используя так называемый квазиимпульс ( Частица в периодическом потенциале ). В любом случае состояния с энергией Ферми расположены на поверхности в пространстве импульсов, известной как поверхность Ферми . Для свободного электронного газа, поверхность Ферми — поверхность сферы; для периодических систем она вообще имеет искаженную форму. Объём, заключённый под поверхностью Ферми, определяет число электронов в системе, и её топология непосредственно связана с транспортными свойствами металлов, например, электрической проводимостью . Поверхности Ферми большинства металлов хорошо изучены экспериментально и теоретически.

Уровень Ферми при ненулевых температурах

Для важного случая электронов в металле при всех разумных температурах можно считать , где - химический потенциал при данной температуре, - постоянная Больцмана . Такую ситуацию называют вырожденным ферми-газом . (В другом предельном случае ферми-газ называют невырожденным, числа заполнения невырожденного ферми-газа малы и его можно описывать классической больцмановской статистикой .)

Энергия Ферми свободного ферми-газа связана с химическим потенциалом уравнением

Следовательно, химический потенциал приблизительно равен энергии Ферми при температурах намного меньше характерной . Характерная температура имеет порядок 10 4 K для металла, следовательно, при комнатной температуре (300 K ), энергия Ферми и химический потенциал фактически эквивалентны. Это существенно, потому что химический потенциал не является энергией Ферми, которая входит в распределение Ферми — Дирака

При температуре и энергии фермиона , равной , функция распределения Ферми-Дирака стремится к значению . При низких температурах граница заполнения энергетических состояний симметрично размывается на величину порядка . При этом вероятность заполнения электронных состояний с энергией Ферми . При высоких температурах размытие становится несимметричным, а значение химического потенциала смещается в область низких энергий .

В качестве уровня Ферми при можно выбрать уровень, заполненный ровно наполовину (то есть уровень состояния , вероятность заполнения которого частицей равна 1/2).

Энергия, температура и скорость Ферми

Элемент Энергия Ферми, эВ Температура Ферми, ×10 000 K Скорость Ферми, ×1000 км/с
Li 4,74 5,51 1,29
Na 3,24 3,77 1,07
K 2,12 2,46 0,86
Rb 1,85 2,15 0,81
Cs 1,59 1,84 0,75
Cu 7,00 8,16 1,57
Ag 5,49 6,38 1,39
Au 5,53 6,42 1,40
Be 14,3 16,6 2,25
Mg 7,08 8,23 1,58
Ca 4,69 5,44 1,28
Sr 3,93 4,57 1,18
Ba 3,64 4,23 1,13
Nb 5,32 6,18 1,37
Fe 11,1 13,0 1,98
Mn 10,9 12,7 1,96
Zn 9,47 11,0 1,83
Cd 7,47 8,68 1,62
Hg 7,13 8,29 1,58
Al 11,7 13,6 2,03
Ga 10,4 12,1 1,92
In 8,63 10,0 1,74
Tl 8,15 9,46 1,69
Sn 10,2 11,8 1,90
Pb 9,47 11,0 1,83
Bi 9,90 11,5 1,87
Sb 10,9 12,7 1,96
Ni 11,67 2,04
Cr 6,92 1,56

Связь энергии Ферми и концентрации электронов проводимости

Концентрация электронов проводимости в вырожденных полупроводниках связана с расстоянием от края частично заполненной энергетической зоны до уровня Ферми. Эту положительную величину иногда тоже называют энергией Ферми, по аналогии с энергией Ферми свободного электронного газа, которая, как известно, положительна.

В металлах обычно имеется несколько частично заполненных энергетических зон, поэтому указать точный вид зависимости концентрации свободных носителей заряда от положения уровня Ферми не представляется возможным.

См. также

Примечания

  1. Н.Ашкрофт, Н.Мермин. ФИЗИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА. Том 1. — Москва: Мир, 1979. — 458 с.

Литература

  • Гусев В. Г., Гусев Ю. М. Электроника. — М.: Высшая школа, 1991. — С. 53. — ISBN 5-06-000681-6 .
Источник —

Same as Энергия Ферми