Interested Article - Изотропный вектор

Изотро́пный ве́ктор ( нульвектор ) — ненулевой вектор псевдоевклидова векторного пространства (над полем вещественных чисел ) или унитарного векторного пространства (над полем комплексных чисел ), ортогональный самому себе, или, что эквивалентно, имеющий нулевую длину в смысле скалярного произведения рассматриваемого пространства. Наименование изотропный связано с физическим понятием изотропии .

В евклидовых пространствах таких векторов нет — нулевой длиной обладают лишь векторы, равные нулю. В псевдоевклидовых пространствах изотропные векторы существуют и образуют изотропный конус . Именно, вектор $\xi \neq 0$ векторного пространства $E$ над полем $F$ вещественных или комплексных чисел с заданной в качестве скалярного произведения невырожденной билинейной формой $\Phi :E\times E\to F$ с сигнатурой $(p,q)$ изотропен, если $\Phi (\xi ,\xi )=0$ .

Связанные понятия

Изотропный конус в пространстве $\mathbb {R} _{1}^{3}$

Изотропным конусом псевдоевклидова или унитарного векторного пространства называется множество, состоящее из всех векторов нулевой длины данного пространства, то есть всех изотропных векторов и нулевого вектора.

Изотропное подпространство — подпространство псевдоевклидова или унитарного векторного пространства, целиком содержащееся в изотропном конусе этого пространства, то есть целиком состоящее из векторов нулевой длины. Подпространство является изотропным тогда и только тогда, когда любые два его вектора ортогональны друг другу . Максимальная размерность изотропного подпространства псевдоевклидова пространства сингатуры $(p,q)$ не превосходит $\min(p,q)$ .

Вырожденное подпространство — подпространство псевдоевклидова или унитарного векторного пространства, ограничение скалярного произведения на которое вырождено. Подпространство является вырожденным тогда и только тогда, когда оно содержит хотя бы один изотропный вектор, ортогональный всем остальным векторам этого подпространства . Очевидно, любое изотропное подпространство является вырожденным, но обратное не верно.

Примеры

Взаимное расположение плоскости $\Pi$ и изотропного конуса в пространстве $\mathbb {R} _{1}^{3}$ . Слева направо: плоскость $\Pi$ псевдоевклидова, вырожденная, евклидова.

Простейший пример — изотропные векторы и изотропный конус в $\mathbb {R} _{1}^{3}$ — псевдоевклидовом пространстве сигнатуры (2,1). Квадрат длины вектора $e=(x,y,z)$ задается формулой $|e|^{2}=\langle e,e\rangle =x^{2}+y^{2}-z^{2}$ . Изотропный конус — прямой круговой конус $x^{2}+y^{2}-z^{2}=0$ . Изотропные подпространства — лежащие на нём прямые (образующие), вырожденные подпространства (отличные от изотропных) — плоскости, касающиеся изотропного конуса, то есть имеющие с ним ровно одну общую прямую. Все остальные плоскости являются либо евклидовыми (если пересекаются с изотропным конусом лишь в его вершине), либо псевдоевклидовыми сигнатуры (1,1) (если пересекаются с ним по двум различным прямым) .

Важнейший пример — изотропные векторы и изотропный конус в пространстве Минковского $\mathbb {R} _{1}^{4}$ — псевдоевклидовом пространстве сигнатуры (1,3), используемом в качестве геометрической интерпретации пространства-времени специальной теории относительности. В этом пространстве каждый вектор e имеет четыре координаты: $e=(ct,x,y,z)$ , где $c$ ― скорость света , и квадрат его длины задается формулой $|e|^{2}=\langle e,e\rangle =(ct)^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}$ . Изотропный конус пространства Минковского называется световым конусом , а изотропные векторы — световыми или светоподобными . Векторы, лежащие внутри светового конуса ( $|e|^{2}>0$ ), называются времениподобными , а векторы, лежащие вне светового конуса ( $|e|^{2}<0$ ), называются пространственноподобными .

Примечания

↑ Ремизов А. О. , Матем. образование, 2018, № 2(86), 15–39 (стр. 17).
Ремизов А. О. , Матем. образование, 2018, № 2(86), 15–39 (стр. 27, Лемма 2).
Шафаревич И. Р. , Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009 (гл. 7, пар. 7)

Литература

Изотропный вектор — статья из Математической энциклопедии . А. Б. Иванов
Б. А. Дубровин , С. П. Новиков , А. Т. Фоменко . Современная геометрия: методы и приложения. — 4-е издание. — М. : Эдиториал УРСС, 1998. — Т. 1. Геометрия поверхностей, групп преобразований и полей. — С. 49—52. — 320 с. — ISBN 5-901006-02-X .
Шафаревич И. Р. , Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009 (гл. 7, пар. 7).
Ремизов А. О. , Матем. образование, 2018, № 2(86), 15–39.