Interested Article - Среднее геометрическое

Средним геометрическим нескольких положительных вещественных чисел называется такое число, которым можно заменить каждое из этих чисел так, чтобы их произведение не изменилось. Более формально:

Среднее геометрическое двух чисел также называется их средним пропорциональным , поскольку среднее геометрическое двух чисел и обладает следующим свойством: , то есть среднее геометрическое относится к первому числу так же, как второе число к среднему геометрическому.

Свойства

  • Так же, как и любое другое среднее значение , среднее геометрическое лежит между минимумом и максимумом из всех чисел:
  • Среднее геометрическое двух чисел является средним арифметическим-гармоническим этих чисел, то есть равно пределу двух последовательностей:

Среднее геометрическое взвешенное

Среднее геометрическое взвешенное набора вещественных чисел с вещественными весами определяется как

В том случае, если все веса равны между собой, среднее геометрическое взвешенное равно среднему геометрическому.

В геометрии

Среднее геометрическое отрезков:

Высота прямоугольного треугольника , опущенная на гипотенузу , есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу, а каждый катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и его проекцией на гипотенузу.

Это даёт геометрический способ построения среднего геометрического двух (длин) отрезков: нужно построить окружность на сумме этих двух отрезков как на диаметре, и тогда высота, восстановленная из точки их соединения до пересечения с окружностью, даст искомую величину.

Расстояние до горизонта сферы есть среднее геометрическое между расстоянием до самой ближней точки сферы и расстоянием до самой дальней точки сферы.

Обобщения

  • Среднее геометрическое можно рассматривать как предел средних степенных при .
  • Среднее геометрическое является средним Колмогорова при .

Примечания

  1. «Среднее пропорциональное». — статья из Большой советской энциклопедии .
  2. Роу С. . — 2-е изд. — Одесса: Матезис, 1923. 13 августа 2020 года.

См. также

Источник —

Same as Среднее геометрическое