Курт Фри́дрих Гёдель ( нем. Kurt Friedrich Gödel ; 28 апреля 1906 , Брюнн , Австро-Венгрия — 14 января 1978 , Принстон , Нью-Джерси ) — австрийский логик , математик и философ математики . Наиболее известен сформулированными и доказанными им теоремами о неполноте , которые оказали огромное влияние на представление об основаниях математики. Считается одним из наиболее выдающихся мыслителей XX века .

Член Национальной академии наук США (1955) , иностранный член Лондонского королевского общества (1968) .

Биография

Ранние годы

Курт Гёдель родился 28 апреля 1906 года в австро-венгерском ( моравском ) городе Брюнн (ныне Брно , Чехия ) в немецкой семье. Отец Курта — Рудольф Гёдель (1874—1929) — был совладельцем и управляющим крупной текстильной фабрики. В семье был ещё старший брат, названный в честь отца Рудольфом. С детства Курт отличался стеснительностью, погружённостью в себя, ипохондрией , а также чрезвычайной мнительностью — нередко он сам внушал себе всевозможные суеверия, от которых не мог избавиться до конца жизни (например, даже в жару он носил тёплую одежду и перчатки, поскольку считал, безо всяких к тому оснований, что у него слабое сердце) .

В 1918 году, после распада Австро-Венгрии , Гёдель получил чехословацкое гражданство, однако считал себя австрийцем . В 23 года он официально принял австрийское гражданство.

Ещё в детстве Курт проявил способности к языкам; помимо родного немецкого он уже в юности свободно говорил по-английски и по-французски . Окончив школу в 1923 году, Гёдель поступил в Венский университет . Там он два года изучал физику, но затем переключился на математику. С 1926 года участвовал в семинарах Венского философского кружка неопозитивистов , особый интерес проявил к математической логике и теории доказательств . Большое влияние на научную карьеру Гёделя оказало посещение им лекции Давида Гильберта в Болонье . Лекция была посвящена вопросам полноты и непротиворечивости аксиоматических систем. В 1930 году Гёдель защитил диссертацию на тему «О полноте логического исчисления» (руководителем был Ханс Хан ) и начал преподавать в Венском университете.

Научные успехи. Эмиграция (1931—1948)

Ещё в начале XX века Давид Гильберт провозгласил цель аксиоматизировать всю математику, и для завершения этой задачи оставалось доказать непротиворечивость и логическую полноту арифметики натуральных чисел . 7 сентября 1930 года в Кёнигсберге проходил научный конгресс по основаниям математики, и на этом конгрессе 24-летний Гёдель впервые обнародовал две фундаментальные теоремы о неполноте , показавшие, что программа Гильберта не может быть реализована: при любом выборе аксиом арифметики существуют теоремы, которые невозможно ни доказать, ни опровергнуть простыми ( финитными ) средствами, предусмотренными Гильбертом, а финитное доказательство непротиворечивости арифметики невозможно .

Это выступление не было заявлено заранее и произвело ошеломляющий эффект, Гёдель сразу стал всемирной знаменитостью, а программа Гильберта по формализации основ математики потребовала срочного пересмотра. Статья с обеими теоремами (« О принципиально неразрешимых положениях в системе Principia Mathematica и родственных ей системах ») была опубликована в научном ежемесячнике Monatshefte für Mathematik und Physik в 1931 году. Хотя доказательство второй теоремы Гёдель дал только в виде идеи, его результат был настолько ясен и неоспорим, что не вызвал сомнений ни у кого. Гильберт сразу признал ценность открытий Гёделя; первые полные доказательства обеих теорем были опубликованы в книге Гильберта и Бернайса «Основания математики» (1938). В предисловии ко второму тому авторы признали, что для достижения поставленной цели финитных методов недостаточно, и добавили в число логических средств трансфинитную индукцию ; в 1936 году Герхард Генцен сумел доказать с помощью этой аксиомы непротиворечивость арифметики, однако логическая полнота так и осталась недостижимой .

В 1933 году, уже в должности приват-доцента Венского университета, Гёдель получил приглашение в Принстонский университет ( США ), где прочитал курс лекций «О неразрешимых теоремах формальных математических систем». В Принстоне он познакомился и подружился с Эйнштейном . В дальнейшем (1934—1939) Гёдель посещал Принстон почти каждый год, чем немало содействовал развитию американской школы математической логики ( Клини , Чёрч и другие) .

В марте 1938 года Австрия была присоединена к нацистской Германии. В ходе начавшейся реформы университетской системы Гёдель остался без работы, хотя «неарийской крови» у него не было. В довершение неприятностей 32-летний математик был признан годным к армейской службе и получил мобилизационную повестку. С этого момента Гёдель, ранее равнодушный к политике, начал задумываться об эмиграции . В этом же 1938 году Гёдель женился на танцовщице Адели Поркерт, которая была на шесть лет старше его. Брак оказался удачным, но детей у них не было .

В 1940 году Гёдель, опасаясь призыва в армию, уехал с женой и братом Рудольфом в США, причём из-за опасности пути через Атлантику во время начавшейся войны поехал туда через дружественные к Германии на тот момент СССР (по Транссибу ) и Японию . В США он без проблем получил должность в недавно основанном принстонском Институте перспективных исследований , в 1953 году был утверждён там профессором. Мать осталась в Брно, Гёдель регулярно ей писал. С 1940 года Гёдель больше не публиковал исследований по логике, за исключений комментариев философского характера .

В 1948 году Гёдель получил американское гражданство. На собеседовании он попытался доказать, что Конституция США формально-логически неполна и не гарантирует защиты от установления диктатуры, но был вежливо остановлен .

До самой смерти Эйнштейна (1955) они много времени проводили вместе, оживлённо обсуждая физику, политику и философию. Следствием этих бесед стали несколько статей Гёделя по теории относительности. В Австрию Гёдель не вернулся даже после войны, хотя Венский университет его настойчиво приглашал .

Болезнь и смерть

Ещё с 1930-х годов у Гёделя обнаруживались скрытые признаки психического нездоровья, которые проявлялись в тревожности и излишней подозрительности, но в периоды обострений принимали более явные, навязчивые формы. Так, на фоне психологического переутомления, связанного с событиями 1931 года, нервный срыв вывел Гёделя из строя на несколько месяцев . 22 июня 1936 года был убит Мориц Шлик , основатель и бессменный руководитель Венского кружка . Гёдель, всегда восхищавшийся своим наставником Шликом, испытал новый нервный срыв и не мог работать до конца года . В том же 1936 году у него развился параноидальный страх отравления. Опорой Гёделя в нелёгкое время была его жена Адель, кормившая его с ложки и буквально выходившая мужа. Из сохранившихся записей библиотечных запросов этого периода известно, что он изучал литературу по душевным расстройствам, фармакологии и токсикологии (особенно характерно неоднократное обращение к техническому справочнику по отравлениям угарным газом ), что лишь осложняло впоследствии его лечение .

Позже, в Принстоне (1941), несмотря на улучшение общего состояния, Гёдель по-прежнему испытывал дискомфорт от присутствия устройств, способных, по его мнению, испускать отравляющие газы. По этой причине он даже распорядился вынести из квартиры холодильник и отопительный радиатор. Его одержимость свежим воздухом и подозрения по поводу холодильника сохранялись до конца жизни, а периоды частичной ремиссии чередовались с ухудшениями. Особенно тяжёлым ударом для Гёделя стала смерть его друга Альберта Эйнштейна в 1955 году. В 1960‑х годах Гёдель прекратил чтение лекций.

В 1970-х годах состояние Гёделя стало резко ухудшаться. У него наблюдались галлюцинации, параноидальное поведение по отношению к врачам и коллегам. Ухудшилось и состояние здоровья Адели, теперь она не могла ухаживать за ним так, как раньше, а он, в свою очередь, — за ней. Огромную поддержку оказывал друг Гёделя, экономист и математик Оскар Моргенштерн .

В феврале 1976 года паранойя Гёделя опять обострилась, начал снижаться вес, и его уговорили на госпитализацию. Однако уже через неделю, даже не выписавшись, он вернулся домой. Подозрения касались теперь и жены — Моргенштерну и другим людям он рассказывал, что та якобы раздала в его отсутствие все его деньги. В июне Адель была госпитализирована (до августа). Гёдель проводил с ней, по-видимому, достаточно много времени и плохо питался. Осенью он ненадолго снова попал в больницу, где, как он сообщил, его якобы пытались убить. После возвращения домой состояние не улучшалось. Несмотря на уговоры друзей, от очередной госпитализации он отказывался .

В июле 1977 года Адель вновь попала в больницу, где пробыла до декабря. 26 июля умер Моргенштерн. Это событие и отсутствие жены оказали решающее влияние на состояние Гёделя в последующие несколько месяцев — его вес уменьшился до 30 кг, паранойя прогрессировала. 29 декабря, следуя настояниям жены, возвратившейся около недели до того, Гёдель согласился на госпитализацию. Однако врачи существенную помощь оказать уже не могли. В свидетельстве о смерти сказано, что Курт Гёдель скончался 14 января 1978 года от «недоедания и истощения, вызванных расстройством личности » . Адель пережила мужа на четыре года .

Научная деятельность

Гёдель был логиком и философом науки . Наиболее известное достижение Гёделя — это сформулированные и доказанные им теоремы о неполноте , опубликованные в 1931 году . Одна из них гласит, что любая эффективно аксиоматизируемая теория с достаточно богатым языком, пригодным для определения натуральных чисел и операций сложения и умножения, является неполной либо противоречивой. Неполнота означает наличие высказываний, которые нельзя ни доказать, ни опровергнуть, исходя из аксиом этой теории. Противоречивость — возможность доказать любое высказывание: как истинное, так и ложное. Эффективная аксиоматизируемость понимается как возможность алгоритмически решить, является ли данное утверждение аксиомой. Доказанные Гёделем теоремы имеют широкие последствия как для математики, так и для философии (в частности, для онтологии и философии науки ) .

В 1938 году Гёдель получил важный результат, связанный с континуум-гипотезой Кантора : он доказал, что отрицание континуум-гипотезы недоказуемо в стандартной аксиоматике теории множеств ( система Цермело — Френкеля ) с аксиомой выбора . В 1963 году Пол Коэн дополнил этот результат, показав, что и сама континуум-гипотеза недоказуема . Гёдель также активно участвовал в развитии аксиоматики теории множеств .

Кроме того, Гёделю принадлежат несколько работ в области дифференциальной геометрии и в теоретической физике . В частности, он написал работу по общей теории относительности , в которой предложил вариант решения уравнений Эйнштейна , из которого следует, что строение вселенной может иметь такое устройство, в котором течение времени является закольцованным ( метрика Гёделя ), что теоретически допускает путешествия во времени . Большинство современных физиков считают это решение не имеющим физического смысла, однако важен сам факт, что из общей теории относительности не обязательно следует существование абсолютной шкалы времени.

В 1994 году был опубликован сборник ранее не издававшихся рукописей Гёделя; работы эти посвящены в основном философским вопросам, а также историко-научным, теологическим и мистическим проблемам .

Память и отличия

• В 1951 году учёный получил высшую научную награду США — Эйнштейновскую премию .
• В 1957 году избран членом Американской академии искусств и наук .
• В 1974 году награждён Национальной медалью науки США .
• В 1985 году его именем назван астероид .
• В 1993 году учреждена премия в области теории вычислительных систем имени Курта Гёделя.

В Вене есть «Аллея Гёделя» ( Gödelgasse ). При Венском университете существует Исследовательский центр по математической логике имени Гёделя. В честь учёного назван ряд научных теорем и понятий, в том числе:

• Метрика Гёделя
• Нумерация Гёделя
• Система аксиом фон Неймана — Бернайса — Гёделя
• Теорема Гёделя о полноте и теорема Гёделя о неполноте
• Функция Гёделя

Основные труды

Гёдель опубликовал относительно немного научных трудов, но почти каждая его статья становилась научным событием.

• 1930, Die Vollständigkeit der Axiome des logischen Funktionenkalküls. Monatshefte für Mathematik und Physik 37 : 349-60. Это диссертация Гёделя, «Полнота аксиом исчисления логических функций».
• 1931, Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme, I. Monatshefte für Mathematik und Physik 38 : 173-98.
• 1932, Zum intuitionistischen Aussagenkalkül, Anzeiger Akademie der Wissenschaften Wien 69 : 65-66.
• 1940. The Consistency of the Axiom of Choice and of the Generalized Continuum Hypothesis with the Axioms of Set Theory. Princeton University Press. Это конспект принстонских лекций Гёделя.
  • Русский перевод: К. Ф. Гёдель. . Успехи математических наук , 1948, 3:1 (23), стр. 96-149.
• 1947. What is Cantor’s continuum problem? The American Mathematical Monthly 54 : 515-25. Revised version in Paul Benacerraf and Hilary Putnam , eds., 1984 (1964). Philosophy of Mathematics: Selected Readings . Cambridge Univ. Press: 470-85.
• 1950, Rotating Universes in General Relativity Theory. Proceedings of the international Congress of Mathematicians in Cambridge, 1 : 175-81. Это реферат выступления Гёделя на Международном конгрессе математиков ( Кембридж (Массачусетс) , 1950).
• Collected Works: Oxford University Press: New York. Editor-in-chief: Solomon Feferman. 1986—2003.
  • Volume I: Publications 1929—1936. ISBN 978-0-19-503964-1 ,
  • Volume II: Publications 1938—1974. ISBN 978-0-19-503972-6 ,
  • Volume III: Unpublished Essays and Lectures. ISBN 978-0-19-507255-6 ,
  • Volume IV: Correspondence, A-G. ISBN 978-0-19-850073-5 ,
  • Volume V: Correspondence, H-Z. ISBN 978-0-19-850075-9 .
• Гёдель К. Расселовская математическая логика // Рассел Б. Введение в математическую философию. Новосибирск, 2007.

Примечания

Литература

• Боголюбов А. Н. Гёдель Курт // . — Киев: Наукова думка , 1983. — 639 с.
• Клайн М. Математика. Утрата определённости. — М. : Мир, 1984. — 446 с.
• Крайзель Г. Биография Курта Геделя. — М.: URSS, 2003. — 144 с. — ISBN 5-93972-213-X .
• Непейвода H. H. // Новая философская энциклопедия : в 4 т. / пред. науч.-ред. совета В. С. Стёпин . — 2-е изд., испр. и доп. — М. : Мысль , 2010. — 2816 с.
• Пиньейро Г. Э. У интуиции есть своя логика. Гёдель. Теоремы о неполноте // Наука. Величайшие теории. — М. : Де Агостини, 2015. — Вып. 17 . — ISSN .
• Стиллвелл Д. Математика и её история. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. — С. 460—462. — 530 с.
• Хинтикка Я. О Гёделе // Курт Гёдель. Статьи. — М.: Канон+РООИ «Реабилитация», 2014. — 224 с. — ISBN 978-5-88373-420-4 .
• Целищев В. В. Рационалистический оптимизм и философия Курта Геделя // Вопросы философии , 2013. — № 8. — С. 12—23.
• Procházka, Jiří. Kurt Gödel: 1906—1978: Curriculum vitae. ITEM, Brno, Wien, Princeton 2017. Volume I. ( ISBN 978-80-903476-9-4 ). In German, English.
• Procházka, Jiří. Kurt Gödel: 1906—1978: Curriculum vitae. ITEM, Brno, Wien, Princeton 2019. Volume II. ( ISBN 978-80-903476-1-8 ). In German, English.

Ссылки

• от 8 сентября 2017 на Wayback Machine на сайте Bourabai Research.
• Музыкантский А. от 12 сентября 2011 на Wayback Machine .
• Джон Дж. О’Коннор и Эдмунд Ф. Робертсон . (англ.) — биография в архиве MacTutor .