Формула Фейнмана — Каца
— математическая формула, устанавливающая связь между дифференциальными уравнениями с частными производными (специального типа) и случайными процессами. Названа в честь физика
Ричарда Фейнмана
и математика
Марка Каца
.
В частности, эта формула дает метод решения уравнения с частными производными с помощью траекторий случайного процесса (так называемый
метод Монте-Карло
). И наоборот,
математическое ожидание
случайного процесса может быть вычислено как решение соответствующего уравнения с частными производными.
Формулировка в одномерном случае
Рассмотрим дифференциальное уравнение
∂
u
∂
t
+
μ
(
x
,
t
)
∂
u
∂
x
+
1
2
σ
2
(
x
,
t
)
∂
2
u
∂
x
2
−
V
(
x
,
t
)
u
+
f
(
x
,
t
)
=
0
(
∗
)
{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+\mu (x,t){\frac {\partial u}{\partial x}}+{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2}(x,t){\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}-V(x,t)u+f(x,t)=0\qquad (*)}
с неизвестной функцией
u
=
u
(
x
,
t
)
{\displaystyle u=u(x,t)}
, в котором
x
∈
R
{\displaystyle x\in \mathbb {R} }
и
t
∈
[
0
,
T
]
{\displaystyle t\in [0,T]}
— независимые переменные,
μ
,
σ
,
V
,
f
{\displaystyle \mu ,\sigma ,V,f}
— известные функции.
Формула Фейнмана — Каца утверждает, что решение уравнения (*) с начальным (в обратном времени) условием
u
(
x
,
T
)
=
ψ
(
x
)
,
{\displaystyle u(x,T)=\psi (x),}
может быть выражено как
условное математическое ожидание
u
(
x
,
t
)
=
E
Q
[
∫
t
T
e
−
∫
t
s
V
(
X
τ
)
d
τ
f
(
X
s
,
s
)
d
s
+
e
−
∫
t
T
V
(
X
τ
)
d
τ
ψ
(
X
T
)
|
X
t
=
x
]
,
{\displaystyle u(x,t)=E^{Q}\left[\int _{t}^{T}e^{-\int _{t}^{s}V(X_{\tau })\,d\tau }f(X_{s},s)ds+e^{-\int _{t}^{T}V(X_{\tau })\,d\tau }\psi (X_{T})\ {\bigg |}\ X_{t}=x\right],}
где
Q
{\displaystyle Q}
— вероятностная мера, такая что случайный процесс
X
t
{\displaystyle X_{t}}
является
, описываемым стохастическим уравнением
d
X
t
=
μ
(
X
t
,
t
)
d
t
+
σ
(
X
t
,
t
)
d
W
t
Q
,
(
∗
∗
)
{\displaystyle dX_{t}=\mu (X_{t},t)\,dt+\sigma (X_{t},t)\,dW_{t}^{Q},\qquad (**)}
в котором
W
t
Q
{\displaystyle W_{t}^{Q}}
—
винеровский процесс
, с начальным условием
X
0
=
x
{\displaystyle X_{0}=x}
.
Многомерный вариант
Формула Фейнмана — Каца имеет многомерный аналог, когда переменная
x
=
(
x
1
,
…
,
x
n
)
∈
R
n
{\displaystyle x=(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}
.
В этом случае дифференциальное уравнение (*) имеет вид
∂
u
∂
t
+
∑
i
=
1
n
μ
i
(
x
,
t
)
∂
u
∂
x
i
+
1
2
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
n
γ
i
j
(
x
,
t
)
∂
2
u
∂
x
i
∂
x
j
−
V
(
x
,
t
)
u
+
f
(
x
,
t
)
=
0
{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+\sum _{i=1}^{n}\mu _{i}(x,t){\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}+{\tfrac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\gamma _{ij}(x,t){\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}-V(x,t)u+f(x,t)=0}
и
n
-мерный случайный процесс
X
t
{\displaystyle X_{t}}
описывается стохастическим уравнением
d
X
t
=
μ
(
X
t
,
t
)
d
t
+
Σ
(
X
t
,
t
)
d
W
t
Q
,
{\displaystyle dX_{t}=\mu (X_{t},t)\,dt+\Sigma (X_{t},t)\,dW_{t}^{Q},}
в котором
μ
{\displaystyle \mu }
— это вектор-столбец
(
μ
1
,
…
,
μ
n
)
{\displaystyle (\mu _{1},\ldots ,\mu _{n})}
,
W
t
Q
{\displaystyle W_{t}^{Q}}
—
n
-мерный
винеровский процесс
,
Σ
=
(
σ
i
j
)
{\displaystyle \Sigma =(\sigma _{ij})}
— квадратная матрица порядка n, связанная
с матрицей
Γ
=
(
γ
i
j
)
{\displaystyle \Gamma =(\gamma _{ij})}
формулой
Γ
=
Σ
⋅
Σ
∗
,
{\displaystyle \Gamma =\Sigma \cdot \Sigma ^{*},}
звёздочка означает транспонирование.
См. также
Литература
Оксендаль Б.
Стохастические дифференциальные уравнения. Введение в теорию и приложения. —
: Мир, 2003.
Protter P. E.
Stochastic Integration and Differential Equations. — Springer, 2005.
Simon B.
Functional Integration and Quantum Physics. — Academic Press, 1979.
Klebaner, F.C.
Introduction to Stochastic Calculus With Applications. — London, UK: Imperial College Press, 2005.
Knill, O.
Probability Theory And Stochastic Processes With Applications. — Overseas Press, 2009.
Наука
Работы
Прочее