Переход Костерлица — Таулеса или переход Березинского — Костерлица — Таулеса (БКТ-переход) или топологический фазовый переход — фазовый переход в двумерной XY-модели. Это переход из состояния связанных пар вихрь-антивихрь при низких температурах в состояние с неспаренными вихрями и антивихрями при некоторой критической температуре. Переход назван в честь занимающихся конденсированными средами физиков Вадима Львовича Березинского , Джона М. Костерлица и Дэвида Дж. Таулеса . БКТ-переходы можно наблюдать в некоторых двумерных системах в физике конденсированных сред, которые аппроксимируются с помощью XY-модели ( топологическая фаза материи ), в том числе в массиве джозефсоновских контактов и в тонких сверхпроводящих гранулированных плёнках. Этот термин также используется как название пиннинга куперовских пар в изолирующем режиме из-за сходства с обычным вихревым БКТ-переходом.

XY модель

— двумерная векторная спиновая модель, которая обладает симметрией U(1) . Для этой системы не ожидается наличия нормального фазового перехода второго порядка . Это объясняется тем, что ожидаемая упорядоченная фаза системы разрушается поперечными колебаниями, то есть голдстоуновскими модами (см. Голдстоуна бозон ), связанными с нарушением этой , которые логарифмически расходятся с увеличением размера системы. Это частный случай теоремы Мермина — Вагнера для спиновых систем.

Строго этот переход до конца не исследован, но существование двух фаз подтвердили МакБрайан и Спенсер (1977) и Фрёлих и Спенсер (1981).

БКТ-переход: неупорядоченные фазы с различными корреляциями

В XY-модели в двух измерениях фазовый переход второго порядка не наблюдается. Однако существует низкотемпературная квази-упорядоченная фаза с корреляционной функцией (см. статистическая механика ), которая уменьшается с расстоянием по степенному закону и зависит от температуры. Переход от высокотемпературной неупорядоченной фазы с экспоненциальной корреляцией к этой низкотемпературной квази-упорядоченной фазе называется БКТ-переходом. Это фазовый переход бесконечного порядка.

Роль вихрей

В двумерной XY-модели вихри являются топологически стабильными конфигурациями. Установлено, что высокотемпературная неупорядоченная фаза с экспоненциальной корреляцией обусловлена образованием вихрей. Вихреобразование становится термодинамически выгодным при критической температуре ${\displaystyle T_{c}}$ БКТ-перехода. При температуре ниже этой корреляция имеет вид степенного закона.

Во многих системах с БКТ-переходами происходит распад связанных антипараллельных вихревых пар, называемых парами вихрь-антивихрь, в несвязанные вихри, а не вихреобразование. В таких системах тепловая генерация вихрей происходит с четным числом вихрей противоположного знака. Связанные пары вихрь-антивихрь обладают меньшей энергией и энтропией, чем несвязанные вихри. В целях минимизации свободной энергии ${\displaystyle F=E-TS}$ система претерпевает переход при критической температуре ${\displaystyle T_{c}}$ . Ниже ${\displaystyle T_{c}}$ есть только связанные пары вихрь-антивихрь. Выше ${\displaystyle T_{c}}$ наблюдаются свободные вихри.

Неформальное описание

Существует элегантное термодинамическое описание БКТ-перехода. Энергия одиночного вихря имеет вид ${\displaystyle \kappa \ln(R/a)}$ , где ${\displaystyle \kappa }$ — параметр, зависящий от системы, в которой находится вихрь, ${\displaystyle R}$ — размер системы, а ${\displaystyle a}$ — радиус вихревого ядра. Предполагается что ${\displaystyle R\gg a}$ . Число возможных позиций любого вихря в системе — примерно ${\displaystyle (R/a)^{2}}$ . Согласно закону Больцмана , энтропия равняется ${\displaystyle S=2k_{B}\ln(R/a)}$ , где ${\displaystyle k_{B}}$ — постоянная Больцмана . Таким образом, свободная энергия Гельмгольца равна

${\displaystyle F=E-TS=(\kappa -2k_{B}T)\ln(R/a).}$

При ${\displaystyle F>0}$ система не будет иметь вихрей. Однако если ${\displaystyle F<0}$ , то это условие является достаточным для существования вихрей. Определим температуру перехода для ${\displaystyle F=0}$ . Критическая температура ${\displaystyle T_{c}}$

${\displaystyle T_{c}={\frac {\kappa }{2k_{B}}}.}$

Вихри могут образовываться выше этой критической температуры, но не ниже. БКТ-переход можно наблюдать экспериментально в двумерном массиве джозефсоновских переходов , измерив ток и напряжение. Выше ${\displaystyle T_{c}}$ связь будет линейной ${\displaystyle V\sim I}$ . Чуть ниже ${\displaystyle T_{c}}$ связь напряжения и тока примет вид ${\displaystyle V\sim I^{3}}$ , в то время как число свободных вихрей будет расти как ${\displaystyle I^{2}}$ . Этот скачок от линейной зависимости к кубической свидетельствует о БКТ-переходе и может использоваться, чтобы определить ${\displaystyle T_{c}}$ . Этот подход был использован в статье Резника и соавторов для подтверждения БКТ-перехода в массиве связанных благодаря эффекту близости джозефсоновских контактов.

Строгий анализ

Пусть на плоскости задано поле φ, которое принимает значения в S ¹ . Для удобства мы работаем с его универсальным покрытием R , отождествляя любые два значения φ( х ), которые отличаются на целое число, умноженное на 2π.

Энергия даётся выражением

${\displaystyle E=\int {\frac {1}{2}}\nabla \phi \cdot \nabla \phi \,d^{2}x.}$

равен exp(− βE ).

Если мы возьмём контурный интеграл ${\displaystyle \oint _{\gamma }d\phi }$ по любому замкнутому контуру γ, мы могли бы ожидать, что он будет нулевым, если кривая γ стягиваемая, поскольку это ожидается от плоской кривой. Но тут есть особенность. Предположим, что XY-теория имеет УФ-предел, который требует некоторого ограничения УФ. Тогда имеются проколы в плоскости, так что если γ — это замкнутый путь, который только единожды обходит вокруг прокола, то значение ${\displaystyle \oint _{\gamma }d\phi }$ может быть только целым числом, умноженным на 2π. Эти проколы называются вихрями, и если γ — замкнутый контур, который обходит только один раз против часовой стрелки вокруг прокола, и его порядок любого другого прокола относительно этой кривой равен нулю, то вихрю могут быть приписаны целочисленные кратности. Допустим, конфигурация поля имеет N проколов в точках x _i , i = 1, …, n с кратностями n _i . Тогда φ распадается на сумму конфигурации поля без проколов φ ₀ и ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}n_{i}\arg(z-z_{i})}$ , где мы для удобства перешли к комплексным координатам на плоскости. Последнее слагаемое имеет ветвления, но поскольку φ определена только по модулю 2π, они нефизичны.

Далее,

${\displaystyle E=\int {\frac {1}{2}}\nabla \phi _{0}\cdot \nabla \phi _{0}d^{2}x+\int {\frac {1}{2}}\nabla \sum _{i=1}^{n}n_{i}\arg(z-z_{i})\cdot \nabla \sum _{j=1}^{n}n_{j}\arg(z-z_{j})d^{2}x.}$

Если ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}n_{i}\neq 0}$ , то второе слагаемое положительно и бесконечно, поэтому конфигурации с несбалансированным числом вихрей никогда не наблюдаются.

Если ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}n_{i}=0}$ , то второе слагаемое равно ${\displaystyle \sum _{1\leqslant i<j\leqslant n}-2\pi n_{i}n_{j}\ln(|x_{j}-x_{i}|/L)}$ .

Это точная формула для энергии кулоновского газа; масштаб L ничего не вносит, кроме постоянного вклада.

Рассмотрим случай с только одним вихрем кратности 1 и одним вихрем кратности −1. При низких температурах, то есть при больших β, пара вихрь-антивихрь имеет тенденцию быть чрезвычайно близко друг к другу. Их разделение потребовало бы энергии порядка энергии УФ-обрезания. При большем количестве пар вихрь-антивихрь получаем набор диполей вихрь-антивихрь. При больших температурах, то есть малых β, мы имеем плазму, состоящую из вихрей и антивихрей. Фазовый переход между этими состояниями и называется БКТ-переходом.

См. также

• Безмассовый бозон
• Модель Изинга
• Квантовый вихрь
• Топологический дефект

Примечания

Литература

• Березинский, В. Л. (1970), «Разрушение дальнего порядка в одномерных и двумерных системах с непрерывной группой симметрии I. Классические системы», ЖЭТФ (in Russian) 59 (3): 907—920 . Translation available: Berezinskii, V. L. (1971), (pdf), Sov. Phys. JETP 32 (3): 493—500, Bibcode :
• Березинский, В. Л. (1971), «Разрушение дальнего порядка в одномерных и двумерных системах с непрерывной группой симметрии II. Квантовые системы», ЖЭТФ (in Russian) 61 (3): 1144—1156 . Translation available: Berezinskii, V. L. (1972), (pdf), Sov. Phys. JETP 34 (3): 610—616, Bibcode :
• Kosterlitz, J. M.; Thouless, D. J. (1973), «Ordering, metastability and phase transitions in two-dimensional systems», Journal of Physics C: Solid State Physics 6 : 1181—1203, Bibcode : , doi :
• McBryan, O.; Spencer, T. (1977), Commun. Math. Phys. 53 : 299, Bibcode : , doi :
• B. I. Halperin, D. R. Nelson, Phys. Rev. Lett. 41, 121 (1978)
• A. P. Young, Phys. Rev. B 19, 1855 (1979)
• Resnick, D.J.; Garland, J.C.; Boyd, J.T.; Shoemaker, S.; Newrock, R.S. (1981), «Kosterlitz Thouless Transition in Proximity Coupled Superconducting Arrays», Phys. Rev. Lett. 47 : 1542, Bibcode : , doi :
• Fröhlich, Jürg; Spencer, Thomas (1981), «The Kosterlitz-Thouless transition in two-dimensional abelian spin systems and the Coulomb gas», Comm. Math. Phys. 81 (4): 527—602, Bibcode : , doi :
• Z. Hadzibabic; et al. (2006), «Berezinskii-Kosterlitz-Thouless crossover in a trapped atomic gas», Nature 41 : 1118, arXiv : , Bibcode : , doi :

Книги

• J.V. Jose, 40 Years of Berezinskii-Kosterlitz-Thouless Theory , World Scientific , 2013, ISBN 978-981-4417-65-5
• H. Kleinert , Gauge Fields in Condensed Matter , Vol. I, « SUPERFLOW AND VORTEX LINES», pp. 1-742, ; Paperback ISBN 9971-5-0210-0 (also available online: . Read pp. 618—688);
• H. Kleinert , Multivalued Fields in Condensed Matter, Electrodynamics, and Gravitation , (also available online: )

Ссылки

• — статья из Физической энциклопедии (том 5, стр. — )
• Рыжов В. Н. УФН , том 187, в. 1, 125–128 (2017)