Interested Article - Спираль

Разрез раковины моллюска Nautilus, напоминающий логарифмическую спираль

Согласно Математической энциклопедии , спиралями называются плоские кривые, которые «обычно обходят вокруг одной (или нескольких точек), приближаясь или удаляясь от неё». Это толкование термина не является строго формализуемым определением. Если какая-то известная кривая содержит в названии эпитет «спираль», то к этому следует относиться как к исторически сложившемуся названию.

Один из вариантов строгого определения, предполагающий монотонность полярного уравнения кривой, не универсален: выбрав другой полюс, можно нарушить имеющуюся монотонность, и только из-за этого кривая «перестанет быть спиралью», при том, что сама она не изменилась. У полярное уравнение немонотонно, а спираль Корню имеет два полюса и поэтому не описывается целиком в полярных координатах.

Определения, основанные на монотонности кривизны

Формальное определение спирали, основанное на монотонности кривизны , принято в монографии (глава 3-3, Spiral Arcs ). При этом требуется непрерывность кривизны $k(s)$ $k(s)$ как функции длины дуги кривой , и рассматриваются только выпуклые кривые . Спиралью в этом смысле является четвертинка эллипса (между двумя соседними вершинами). Интерес к таким кривым был во многом связан с теоремой о четырёх вершинах овала , утверждающей (в терминах обсуждаемого определения), что простая замкнутая кривая с непрерывной кривизной состоит как минимум из четырёх спиральных дуг.

Именно такие определения, с теми или иными уточнениями о выпуклости, строгой/нестрогой монотонности, непрерывности и знакопостоянстве кривизны, ограничениями на полный поворот кривой, используются в приложениях из области автоматизированного проектирования . Основные приложения связаны с конструированием скоростных дорог, в частности, построением переходных кривых , обеспечивающих постепенное изменение кривизны вдоль пути.

Более общее определение, не требующее знакопостоянства и непрерывности кривизны, а лишь её монотонности, принято в статье . В рамках этого определения свойство кривой быть спиралью инвариантно относительно дробно-линейных отображений кривой.

См. также

Плоские спирали

Окружность можно считать вырожденным частным случаем спирали (кривизна не строго монотонна, а является константой ).

Некоторые из наиболее важных типов двумерных спиралей:

Архимедова спираль :

$r(\theta)=a+b\theta$ $r(\theta)=a+b\theta$ ;
Спираль Феодора : приближение к архимедовой спирали, состоящее из смежных прямоугольных треугольников
Спираль Ферма :

$r(\theta)=\theta ^{\frac {1}{2}}$ $r(\theta)=\theta ^{\frac {1}{2}}$ ; имеет вершину при $\theta ={\frac {1}{2}}{\sqrt {2{\sqrt {7}}-5}}$ $\theta ={\frac {1}{2}}{\sqrt {2{\sqrt {7}}-5}}$ .
Гиперболическая спираль :

$r(\theta)={\frac {a}{\theta }}$ $r(\theta)={\frac {a}{\theta }}$ ;
Жезл : $r=\theta ^{-1/2}$ $r=\theta ^{-1/2}$
Логарифмическая спираль , чья приблизительная форма встречается в природе:

$r(\theta)=ae^{b\theta }$ $r(\theta)=ae^{b\theta }$ ;
Спираль Фибоначчи и золотая спираль , представляющая собой частный случай логарифмической спирали
Спираль Корню или эйлерова спираль, или клотоида : $k(s)=\pm {\frac {s}{a^{2}}}$ $k(s)=\pm {\frac {s}{a^{2}}}$ .

Архимедова спираль
Спираль Корню
Спираль Ферма
Гиперболическая спираль
Кривая жезл (lituus)
Логарифмическая спираль
Спираль Феодора
Спираль Фибоначчи (Золотая спираль)
Инволюта круга (черная) не совпадает с архимедовой спиралью (красная).

Трёхмерные спирали

Архимедова спираль (черная), как проекция конической спирали на плоскость, перпендикулярную оси конуса, цилиндрическая спираль (зеленая) и коническая спираль (красная)

Как и в двумерном случае, r — непрерывную монотонную функцию от θ .

Для простых трёхмерных спиралей третья переменная h — также непрерывная монотонная функция от θ . Например, коническая винтовая линия может быть определена как спираль на конической поверхности с расстоянием от вершины как экспоненциальной функцией от θ .

Для сложных трёхмерных спиралей, как, например, сферическая спираль , h возрастает с ростом θ с одной стороны от точки и убывает — с другой.

Сферическая спираль

Сферическая спираль ( локсодрома ) — это кривая на сфере, пересекающая все меридианы под одним углом (не прямым ). Эта кривая имеет бесконечное число витков. Расстояние между ними убывает по мере приближения к полюсам.

Тела, имеющие форму спирали

Раковина у брюхоногих
Цитоскелет эукариот
Спираль в балансе механических часов , спиральная пружина в электроизмерительном механизме стрелочного измерительного прибора
Спиральная заводная пружина в механических часах и в заводных игрушках
Циклон , Антициклон
Спиральные галактики
Коллаген — Фибриллярный белок с правозакрученной спиралью
Рулон
ДНК
Распределение семян в подсолнечнике и других растениях семейства сложноцветные
Вихрь
Смерч-вихрь
Кадуцей
Омут
Водоворот
Аммониты (головоногие)
Рога
Романеско (капуста)

См. также

Примечания

Guggenheimer H.W. Differential geometry.. — New York: Dover Publications, 1977. — С. 48. — ISBN 0-486-63433-7 .
…то есть такие, что дуга и её хорда образуют выпуклую фигуру .
Курносенко А.И. Общие свойства плоских спиральных кривых // Записки научных семинаров ПОМИ : том 353. — 2009. — С. 93—115 . — ISSN .

Литература

Cook, T., 1903. Spirals in nature and art . Nature 68 (1761), 296.
Cook, T., 1979. The curves of life . Dover, New York.
Habib, Z., Sakai, M., 2005. Spiral transition curves and their applications . Scientiae Mathematicae Japonicae 61 (2), 195—206.
Dimulyo, S., Habib, Z., Sakai, M., 2009. Fair cubic transition between two circles with one circle inside or tangent to the other . Numerical Algorithms 51, 461—476 (недоступная ссылка) .
Harary, G., Tal, A., 2011. The natural 3D spiral . Computer Graphics Forum 30 (2), 237—246 .
Xu, L., Mould, D., 2009. Magnetic curves: curvature-controlled aesthetic curves using magnetic ﬁelds . In: Deussen, O., Hall, P. (Eds.), Computational Aesthetics in Graphics, Visualization, and Imaging. The Eurographics Association .
Wang, Y., Zhao, B., Zhang, L., Xu, J., Wang, K., Wang, S., 2004. Designing fair curves using monotone curvature pieces . Computer Aided Geometric Design 21 (5), 515—527 .
A. Kurnosenko. Applying inversion to construct planar, rational spirals that satisfy two-point G2 Hermite data . Computer Aided Geometric Design, 27(3), 262—280, 2010 .
A. Kurnosenko. Two-point G2 Hermite interpolation with spirals by inversion of hyperbola . Computer Aided Geometric Design, 27(6), 474—481, 2010.
Miura, K.T., 2006. A general equation of aesthetic curves and its self-affinity . Computer-Aided Design and Applications 3 (1-4), 457—464 .
Miura, K., Sone, J., Yamashita, A., Kaneko, T., 2005. Derivation of a general formula of aesthetic curves . In: 8th International Conference on Humans and Computers (HC2005). Aizu-Wakamutsu, Japan, pp. 166—171 .
Meek, D., Walton, D., 1989. The use of Cornu spirals in drawing planar curves of controlled curvature . Journal of Computational and Applied Mathematics 25 (1), 69-78 .
Farin, G., 2006. Class A Bézier curves . Computer Aided Geometric Design 23 (7), 573—581 .
Farouki, R.T., 1997. Pythagorean-hodograph quintic transition curves of monotone curvature . Computer-Aided Design 29 (9), 601—606.
Yoshida, N., Saito, T., 2006. Interactive aesthetic curve segments . The Visual Computer 22 (9), 896—905 .
Yoshida, N., Saito, T., 2007. Quasi-aesthetic curves in rational cubic Bézier forms . Computer-Aided Design and Applications 4 (9-10), 477—486 .
Ziatdinov, R., Yoshida, N., Kim, T., 2012. Analytic parametric equations of log-aesthetic curves in terms of incomplete gamma functions . Computer Aided Geometric Design 29 (2), 129—140 .
Ziatdinov, R., Yoshida, N., Kim, T., 2012. Fitting G2 multispiral transition curve joining two straight lines , Computer-Aided Design 44(6), 591—596 .
Ziatdinov, R., 2012. Family of superspirals with completely monotonic curvature given in terms of Gauss hypergeometric function . Computer Aided Geometric Design 29(7): 510—518, 2012 .
Ziatdinov, R., Miura K.T., 2012. On the Variety of Planar Spirals and Their Applications in Computer Aided Design . European Researcher 27(8-2), 1227—1232 .