Функция Гильберта , ряд Гильберта и многочлен Гильберта градуированной коммутативной алгебры , конечно порождённой над полем — это три тесно связанных понятия, которые позволяют измерить рост размерности однородных компонент алгебры.

Эти понятия были распространены на и градуированные или фильтрованные модули над этими алгебрами, а также на когерентные пучки над проективными схемами.

Эти понятия часто используются в следующих ситуациях:

• Фактор кольца многочленов по однородному идеалу , градуированный полной степенью.
• Фактор кольца многочленов по идеалу, фильтрованный полной степенью.
• Фильтрация локального кольца степенями его максимального идеала .

Многочлен Гильберта и ряд Гильберта играют важную роль в вычислительной алгебраической геометрии , так как они предоставляют простейший известный способ вычисления размерности и степени алгебраического многообразия, заданного явными полиномиальными уравнениями.

Определения и основные свойства

Рассмотрим конечно порождённую градуированную коммутативную алгебру S над полем K , которая является конечно порождённой элементами положительной степени. Это значит, что

${\displaystyle S=\bigoplus _{i\geq 0}S_{i}\ }$

и что ${\displaystyle S_{0}=K}$ .

Функция Гильберта

${\displaystyle HF_{S}\;:\;n\mapsto \dim _{K}\,S_{n}}$

переводит целое число n в размерность векторного пространства S _n над полем K . Ряд Гильберта , который называется рядом Гильберта — Пуанкаре в более общей ситуации градуированных векторных пространств, — это формальный ряд

${\displaystyle HS_{S}(t)=\sum _{n=0}^{\infty }HF_{S}(n)\,t^{n}.}$

Если S порождена h однородными элементами положительных степеней ${\displaystyle d_{1},\ldots ,d_{h}}$ , то сумма ряда Гильберта является рациональной функцией

${\displaystyle HS_{S}(t)={\frac {Q(t)}{\prod _{i=1}^{h}(1-t^{d_{i}})}}\,,}$

где Q — это многочлен с целыми коэффициентами.

Если S порождена элементами степени 1, то сумма ряда Гильберта может быть переписана как

${\displaystyle HS_{S}(t)={\frac {P(t)}{(1-t)^{\delta }}}\,,}$

где P — многочлен с целыми коэффициентами, и ${\displaystyle \delta }$ — размерность Крулля S .

В этом случае разложение этой рациональной функции в ряж имеет вид

${\displaystyle HS_{S}(t)=P(t)\,\left(1+\delta \,t+\cdots +{\binom {n+\delta -1}{\delta -1}}\,t^{n}+\cdots \right)}$

где биномиальный коэффициент ${\displaystyle {\binom {n+\delta -1}{\delta -1}}}$ равен ${\displaystyle \;{\frac {(n+\delta -1)(n+\delta -2)\cdots (n+1)}{(\delta -1)!}}\;}$ при ${\displaystyle n>-\delta }$ и нулю в противном случае.

Если ${\displaystyle \textstyle P(t)=\sum _{i=0}^{d}a_{i}t^{i},}$ то коэффициент при ${\displaystyle t^{n}}$ в ${\displaystyle HS_{S}(t)}$ — это

${\displaystyle HF_{S}(n)=\sum _{i=0}^{d}a_{i}{\binom {n-i+\delta -1}{\delta -1}}\,.}$

При ${\displaystyle n\geq i-\delta +1}$ член с индексом i в этой сумме — это многочлен от n степени ${\displaystyle \delta -1}$ со старшим коэффициентом ${\displaystyle a_{i}/(\delta -1)!.}$ Это показывает, что существует единственный многочлен ${\displaystyle HP_{S}(n)}$ с рациональными коэффициентами, который равен ${\displaystyle HF_{S}(n)}$ при достаточно больших n . Этот многочлен называется многочленом Гильберта , и имеет вид

${\displaystyle HP_{S}(n)={\frac {P(1)}{(\delta -1)!}}\,n^{\delta -1}+{}{\text{terms of lower degree in }}n.}$

Многочлен Гильберта — целозначный многочлен , так как размерности являются целыми числами, но он почти никогда не имеет целые коэффициенты.

Все эти определения можно распространить на конечно порождённые градуированные модули над S .

Функция Гильберта , ряд Гильберта и многочлен Гильберта фильтрованной алгебры вычисляются для ассоциированной градуированной алгебры.

Многочлен Гильберта проективного многообразия V в P ⁿ определяется как многочлен Гильберта однородного координатного кольца V .

Градуированные алгебры и кольца многочленов

Кольца многочленов и их факторы по однородным идеалам — это типичные градуированные алгебры. Обратно, если S — градуированная алгебра над полем K , порождённая n однородными элементами g ₁ , ..., g _n степени 1, то отображение, которое переводит X _i в g _i , определяет гомоморфизм градуированных колец из ${\displaystyle R_{n}=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$ на S . Его ядро — однородный идеал I , и это определяет изоморфизм градуированных алгебр между ${\displaystyle R_{n}/I}$ и S .

Таким образом, градуированные алгебры, порождённые однородными элементами степени 1 — это в точности факторы колец многочленов по однородным идеалам (с точностью до изоморфизма). Поэтому в последующих разделах этой статьи будут рассматриваться факторы колец многочленов по идеалам.

Свойства ряда Гильберта

Аддитивность

Ряд Гильберта и многочлен Гильберта аддитивны в точных последовательностях . Более точно, если

${\displaystyle 0\;\rightarrow \;A\;\rightarrow \;B\;\rightarrow \;C\;\rightarrow \;0}$

является точной последовательностью градуированных или фильтрованных модулей, то мы имеем

${\displaystyle HS_{B}=HS_{A}+HS_{C}}$

и

${\displaystyle HP_{B}=HP_{A}+HP_{C}.}$

Это немедленно следует из аналогичного свойства для размерностей векторных пространств.

Фактор по элементу, не являющемуся делителем нуля

Пусть A — градуированная алгебра и f — однородный элемент A степени d , который не является делителем нуля . Тогда мы имеем

${\displaystyle HS_{A/(f)}(t)=(1-t^{d})\,HS_{A}(t)\,.}$

Это следует из аддитивности для точной последовательности

${\displaystyle 0\;\rightarrow \;A^{[d]}\;{\xrightarrow {f}}\;A\;\rightarrow \;A/f\rightarrow \;0\,,}$

где стрелка с буквой f — это умножение на f , и ${\displaystyle A^{[d]}}$ — это градуированный модуль, полученный из A сдвигом степеней на d , так что умножение на f имеет степень 0. В частности, ${\displaystyle HS_{A^{[d]}}(t)=t^{d}\,HS_{A}(t)\,.}$

Ряд Гильберта и многочлен Гильберта кольца многочленов

Ряд Гильберта кольца многочленов ${\displaystyle R_{n}=K[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ от ${\displaystyle n}$ переменных равен

${\displaystyle HS_{R_{n}}(t)={\frac {1}{(1-t)^{n}}}\,.}$

Из этого следует, что многочлен Гильберта равен

${\displaystyle HP_{R_{n}}(k)={{k+n-1} \choose {n-1}}={\frac {(k+1)\cdots (k+n-1)}{(n-1)!}}\,.}$

Доказательство того, что ряд Гильберта имеет такой вид получается по индукции применением предыдущей формулы для фактора по элементу, не являющемуся делителем нуля (в нашем случае — по ${\displaystyle x_{n}}$ ) и из того, что ${\displaystyle HS_{K}(t)=1\,.}$

Вид ряда Гильберта и размерность

Градуированная алгебра A , порождённая однородными элементами степени 1, имеет размерность Крулля 0, когда максимальный однородный идеал, то есть идеал, порождённый однородными элементами степени 1, нильпотентен . Из этого следует, что размерность A как векторного пространства над K конечна и что ряд Гильберта A — это многочлен P ( t ) , такой, что P (1) равно размерности A как векторного пространства над K .

Если размерность Крулля A положительна, то существует однородный элемент f степени 1, не являющийся делителем нуля (на самом деле почти все элементы степени 1 таковы). Размерность Крулля A / (f) равна размерности Крулля A минус один.

Из аддитивности ряда Гильберта следует, что ${\displaystyle HS_{A/(f)}(t)=(1-t)\,HS_{A}(t)}$ . Итерируя это размерность A раз, мы получаем алгебру размерности 0, ряд Гильберта которой — многочлен P ( t ) . Это показывает, что ряд Гильберта A равен

${\displaystyle HS_{A}(t)={\frac {P(t)}{(1-t)^{d}}}}$

где многочлен P ( t ) таков, что P (1) ≠ 0 и d — это размерность Крулля алгебры A .

Из этой формулы для ряда Гильберта следует, что степень многочлена Гильберта равна d и его старший коэффициент — ${\displaystyle {\frac {P(1)}{d!}}}$ .

Степень проективного многообразия и теорема Безу

Ряд Гильберта позволяет вычислить степень алгебраического многообразия как значение в 1 числителя ряда Гильберта. Это также даёт простое доказательство теоремы Безу.

Рассмотрим проективное алгебраическое множество V размерности большей нуля, определённое как множество нулей однородного идеала ${\displaystyle I\subset k[x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ , где k — поле, и пусть ${\displaystyle R=k[x_{0},\ldots ,x_{n}]/I}$ . Если f — однородный многочлен степени ${\displaystyle \delta }$ , который не является делителем нуля в R , точная последовательность

${\displaystyle 0\;\rightarrow \;R^{[\delta ]}\;{\xrightarrow {f}}\;R\;\rightarrow \;R/\langle f\rangle \;\rightarrow \;0,}$

показывает, что

${\displaystyle HS_{R/\langle f\rangle }(t)=(1-t^{\delta })HS_{R}(t).}$

Рассматривая числители, получаем доказательство следующего обобщения теоремы Безу:

Если f — это однородный многочлен степени ${\displaystyle \delta }$ , который не является делителем нуля в R , то степень пересечения V с гиперповерхностью, определённой f , равна произведению степени V на ${\displaystyle \delta }$ .

Более геометрически это можно переформулировать следующим образом: если проективная гиперповерхность степени d не содержит ни одной неприводимой компоненты алгебраического множества степени δ , то степень их пересечения равна dδ .

Обычная теорема Безу легко выводится из этого утверждения, если начинать с гиперповерхности и последовательно пересекать её с n - 1 другими гиперповерхностями.

Литература

• Eisenbud, David . Commutative algebra. With a view toward algebraic geometry, Graduate Texts in Mathematics, 150, New York: Springer-Verlag, 1995, ISBN 0-387-94268-8 .
• Schenck, Hal . Computational Algebraic Geometry, Cambridge: Cambridge University Press, 2003, ISBN 978-0-521-53650-9 .
• Stanley, Richard . "Hilbert functions of graded algebras", Advances in Math., 28 (1), pp. 57–83, 1978.