Interested Article - Хроматическое число

Пример раскраски графа Петерсена . Для раскраски этого графа достаточно 3 разных цвета, его хроматическое число равно 3.

Хромати́ческое число́ гра́фа G {\displaystyle {\boldsymbol {G}}} — минимальное число цветов, в которые можно раскрасить вершины графа G так, чтобы концы любого ребра имели разные цвета. Обычно обозначается χ ( G ) {\displaystyle \chi (G)} .

Определение

Хроматическое число графа — минимальное число k {\displaystyle k} , такое что множество V {\displaystyle V} вершин графа можно разбить на k {\displaystyle k} непересекающихся классов C 1 , C 2 , , C k {\displaystyle C_{1},C_{2},\ldots ,C_{k}} :

V = i C i ; C i C j = , {\displaystyle V=\bigcup _{i}^{}C_{i};\ C_{i}\cap C_{j}=\varnothing ,}

таких, что вершины в каждом классе независимы , то есть любое ребро графа не соединяет вершины одного и того же класса.

Связанные определения

  • K-раскрашиваемый граф — граф, хроматическое число которого не превосходит K {\displaystyle K} . То есть его вершины можно раскрасить не более чем K {\displaystyle K} цветами так, что у любого ребра концы будут разного цвета.
  • K-хроматический граф — граф, хроматическое число которого равно K {\displaystyle K} . То есть вершины графа можно раскрасить K {\displaystyle K} цветами так, что у любого ребра концы будут разного цвета, но так раскрасить K 1 {\displaystyle K-1} цветами — уже нельзя.

Рёберная раскраска

реберная раскраска кубического графа

Хроматический класс графа G {\displaystyle {\boldsymbol {G}}} — минимальное число цветов, в которые можно раскрасить ребра графа G {\displaystyle G} так, чтобы смежные ребра имели разные цвета. Обозначается χ ( G ) {\displaystyle \chi '(G)} . Проблема реберной раскраски произвольного плоского кубического графа без мостов тремя цветами эквивалентна знаменитой Проблеме четырёх красок . Реберная раскраска определяет 1-факторизацию графа.

Хроматический многочлен

Если рассмотреть количество различных раскрасок помеченного графа как функцию от доступного числа цветов t {\displaystyle t} , то оказывается, что эта функция всегда будет полиномом от t {\displaystyle t} . Этот факт был обнаружен Биркгофом и Льюисом при попытке доказать проблему четырёх красок .

Хроматические многочлены некоторых графов

Треугольник K 3 {\displaystyle K_{3}} t ( t 1 ) ( t 2 ) {\displaystyle t(t-1)(t-2)}
Полный граф K n {\displaystyle K_{n}} t ( t 1 ) ( t 2 ) . . . ( t ( n 1 ) ) {\displaystyle t(t-1)(t-2)...(t-(n-1))}
Дерево с n {\displaystyle n} вершинами t ( t 1 ) n 1 {\displaystyle t(t-1)^{n-1}}
Цикл C n {\displaystyle C_{n}} ( t 1 ) n + ( 1 ) n ( t 1 ) {\displaystyle (t-1)^{n}+(-1)^{n}(t-1)}
Граф Петерсена t ( t 1 ) ( t 2 ) ( t 7 12 t 6 + 67 t 5 230 t 4 + 529 t 3 814 t 2 + 775 t 352 ) {\displaystyle t(t-1)(t-2)(t^{7}-12t^{6}+67t^{5}-230t^{4}+529t^{3}-814t^{2}+775t-352)}

Нахождение хроматического многочлена произвольного графа

Для графа-вершины хроматический многочлен равен t {\displaystyle t}

| V ( G ) | = 1 P ( G , t ) = t . {\displaystyle |V(G)|=1\Rightarrow P(G,t)=t.}

Хроматический многочлен графа равен произведению хроматических многочленов его компонент

G 1 G 2 = P ( ( G 1 G 2 ) , t ) = P ( G 1 , t ) P ( G 2 , t ) . {\displaystyle G_{1}\cap G_{2}=\emptyset \Rightarrow P((G_{1}\cup G_{2}),t)=P(G_{1},t)P(G_{2},t).}

Также существует рекуррентное соотношение — , так называемая формула удаления и стягивания

P ( G , t ) = P ( G ( u , v ) , t ) P ( G / ( u , v ) , t ) , {\displaystyle P(G,t)=P(G-(u,v),t)-P(G/(u,v),t),}

где u {\displaystyle u} и v {\displaystyle v} — смежные вершины, G ( u , v ) {\displaystyle G-(u,v)} — граф, получающийся из графа G {\displaystyle G} путём удаления ребра ( u , v ) , {\displaystyle (u,v),} а G / ( u , v ) {\displaystyle G/(u,v)} — граф, получающийся из графа G {\displaystyle G} путём стягивания ребра ( u , v ) {\displaystyle (u,v)} в точку.
Можно использовать эквивалентную формулу

P ( G , t ) = P ( G + ( u , v ) , t ) + P ( G / ( u , v ) , t ) , {\displaystyle P(G,t)=P(G+(u,v),t)+P(G/(u,v),t),}

где u {\displaystyle u} и v {\displaystyle v} — несмежные вершины, а G + ( u , v ) {\displaystyle G+(u,v)} — граф, получающийся из графа G {\displaystyle G} путём добавления ребра ( u , v ) . {\displaystyle (u,v).}

Свойства хроматического многочлена

Для всех целых положительных t {\displaystyle t}

P ( G , t ) 0. {\displaystyle P(G,t)\geq 0.}

Хроматическое число χ ( G ) {\displaystyle \chi (G)} — наименьшее целое положительное t {\displaystyle t} , для которого

P ( G , t ) > 0. {\displaystyle P(G,t)>0.}

Степень хроматического многочлена равна количеству вершин:

deg P ( G , t ) = | V ( G ) | {\displaystyle \deg P(G,t)=|V(G)|}

Обобщения

Также хроматическое число можно рассматривать для других объектов, например, для метрических пространств . Так, хроматическим числом плоскости называется минимальное число цветов χ {\displaystyle \chi } , для которого существует такая раскраска всех точек плоскости в один из цветов, что никакие две точки одного цвета не находятся на расстоянии ровно 1 друг от друга. Аналогично для любой размерности пространства. Элементарно доказывается, что для плоскости 4 χ 7 {\displaystyle 4\leqslant \chi \leqslant 7} , однако продвинуться дальше долгое время не удавалось. 8 апреля 2018 года, британский математик Обри ди Грей доказал, что χ > 4 {\displaystyle \chi >4} . Эта задача называется задачей Нелсона — Эрдёша — Хадвигера .

Значение для теории графов

Множество глубоких задач теории графов легко формулируются в терминах раскраски. Самая знаменитая из таких задач, проблема четырёх красок , в настоящее время решена, однако появляются новые, например, обобщение проблемы четырёх красок, гипотеза Хадвигера .

См. также

Примечания

  1. Birkhoff, G. D. and Lewis, D. C. «Chromatic Polynomials.» Trans. Amer. Math. Soc. 60, 355—451, 1946.
  2. (2018-04-08), The chromatic number of the plane is at least 5
  3. Владимир Королёв. (неопр.) . nplus1.ru. Дата обращения: 11 апреля 2018.

Литература

  • О. Оре . Теория графов. — М. : Наука, 1986.

Same as Хроматическое число