Ма́ятником Капицы называется система, состоящая из грузика, прикреплённого к лёгкой нерастяжимой спице, которая крепится к вибрирующему подвесу. Маятник носит имя академика и нобелевского лауреата П. Л. Капицы , построившего в 1951 году теорию для описания такой системы . При неподвижной точке подвеса модель описывает обычный математический маятник , для которого имеются два положения равновесия: в нижней точке и в верхней точке. При этом равновесие математического маятника в верхней точке является неустойчивым , и любое сколь угодно малое возмущение приводит к потере равновесия.

Удивительной особенностью маятника Капицы является то, что, вопреки интуиции, перевёрнутое (вертикальное) положение маятника может быть устойчивым в случае быстрых вибраций подвеса. Хотя такое наблюдение было сделано еще в 1908 году А. Стефенсоном , в течение длительного времени не имелось математического объяснения причин такой устойчивости. П. Л. Капица экспериментально исследовал такой маятник, а также построил теорию динамической стабилизации, разделяя движение на «быстрые» и «медленные» переменные и введя эффективный потенциал. Работа П. Л. Капицы, опубликованная в 1951 году , открыла новое направление в физике — вибрационную механику. Метод П. Л. Капицы используется для описания колебательных процессов в атомной физике , физике плазмы , кибернетической физике . Эффективный потенциал, описывающий «медленную составляющую движения», описывается в томе «механика» курса теоретической физики Л. Д. Ландау .

Маятник Капицы интересен ещё и тем, что в такой простой системе можно наблюдать параметрические резонансы , когда нижнее положение равновесия не является больше устойчивым и амплитуда малых отклонений маятника нарастает со временем . Также, при большой амплитуде вынуждающих колебаний в системе могут реализовываться хаотические режимы, когда в сечении Пуанкаре наблюдаются странные аттракторы .

Обозначения

Направим ось ${\displaystyle y}$ вертикально вверх, а ось ${\displaystyle x}$ горизонтально, так чтобы плоское движение маятника происходило в плоскости ( ${\displaystyle x}$ — ${\displaystyle y}$ ). Введём обозначения:

• ${\displaystyle \nu }$ — частота вынуждающих вертикальных гармонических колебаний подвеса,
• ${\displaystyle a}$ — амплитуда вынуждающих колебаний,
• ${\displaystyle \omega _{0}={\sqrt {g/l}}}$ — собственная частота колебаний математического маятника,
• ${\displaystyle g}$ — ускорение свободного падения,
• ${\displaystyle l}$ — длина лёгкого стержня,
• ${\displaystyle m}$ — масса грузика.

Если угол между стержнем и осью ${\displaystyle y}$ обозначить как ${\displaystyle \varphi }$ , то зависимость координат грузика от времени запишется следующими формулами:

${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}x&=l\sin \varphi ,\\y&=-l\cos \varphi -a\cos \nu t.\end{aligned}}\right.}$

Энергия маятника

Потенциальная энергия маятника в поле тяжести задаётся положением грузика по вертикали как

${\displaystyle E_{\text{pot}}=-mg(l\cos \varphi +a\cos \nu t).}$

В кинетической энергии помимо обычного слагаемого ${\displaystyle E_{\text{kin}}=ml^{2}{\dot {\varphi }}^{2}/2}$ , описывающего движение математического маятника, имеются дополнительные составляющие, вызванные вибрацией подвеса:

${\displaystyle E_{\text{kin}}={\frac {ml^{2}}{2}}{\dot {\varphi }}^{2}+mal\nu ~\sin(\nu t)\sin(\varphi){\dot {\varphi }}+{\frac {ma^{2}\nu ^{2}}{2}}\sin ^{2}(\nu t).}$

Полная энергия даётся суммой кинетической и потенциальной энергий ${\displaystyle E=E_{\text{kin}}+E_{\text{pot}}}$ , а лагранжиан системы — их разностью ${\displaystyle L=E_{\text{kin}}-E_{\text{pot}}}$ .

Для математического маятника полная энергия является сохраняющейся величиной, поэтому кинетическая энергия ${\displaystyle E_{\text{kin}}}$ и потенциальная энергия ${\displaystyle E_{\text{pot}}}$ на графике их зависимости от времени ${\displaystyle t}$ симметричны относительно горизонтальной прямой. Из теоремы вириала следует, что средняя кинетическая и потенциальная энергии в гармоническом осцилляторе равны. Поэтому горизонтальная прямая, относительно которой имеется симметрия ${\displaystyle E_{\text{kin}}}$ и ${\displaystyle E_{\text{pot}}}$ , соответствует половине полной энергии.

Если подвес колеблется, то полная энергия больше не сохраняется. Кинетическая энергия является более чувствительной к вынуждающим колебаниям, чем потенциальная. Потенциальная энергия ${\displaystyle E_{\text{pot}}=mgy}$ ограничена как сверху, так и снизу: ${\displaystyle -mg(l+a)<E_{\text{pot}}<mg(l+a)}$ , в то время как кинетическая энергия ограничена только снизу: ${\displaystyle E_{\text{kin}}\geqslant 0}$ . При больших значениях частоты ${\displaystyle \nu }$ кинетическая энергия может быть много больше потенциальной.

Уравнение движения

Движение маятника удовлетворяет уравнениям Эйлера — Лагранжа . Зависимость фазы маятника ${\displaystyle \varphi }$ от времени определяет положение грузика :

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\varphi }}}}={\frac {\partial L}{\partial \varphi }}.}$

Дифференциальное уравнение

${\displaystyle {\ddot {\varphi }}=-(a\nu ^{2}\cos \nu t+g){\frac {\sin \varphi }{l}},}$

описывающие эволюцию фазы маятника нелинейно из-за имеющегося в нём множителя ${\displaystyle \sin \varphi }$ . Наличие нелинейного слагаемого может приводить к хаотическому поведению и появлению странных аттракторов .

Положения равновесия

Модель маятника Капицы является более общей, чем модель математического маятника. Последняя получается в предельном случае ${\displaystyle a=0}$ . Фазовый портрет математического маятника хорошо известен. На координатной плоскости это просто окружность ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=l^{2}=\mathrm {const} }$ . Если в начальный момент времени энергия маятника была больше, чем максимум потенциальной энергии ${\displaystyle E>mgl}$ , то траектория будет замкнутой и циклической. Если же энергия маятника была меньше ${\displaystyle E<mgl}$ , то он будет совершать периодические колебания около единственной устойчивой точки равновесия с наименьшим значением потенциальной энергии ${\displaystyle x=0,~y=-l}$ . В случае математического маятника полная энергии системы не меняется.

В случае ${\displaystyle a\neq 0}$ система более не является замкнутой и её полная энергия может изменяться. Если при этом, частота вынуждающих колебаний ${\displaystyle \nu }$ много больше частоты собственных колебаний ${\displaystyle \omega _{0}}$ , то такой случай можно проанализировать математически . Оказывается , что если ввести эффективный потенциал, в котором движется маятник (медленно относительно частоты ${\displaystyle \nu }$ ), то этот потенциал может иметь два локальных минимума — один, как и раньше в нижней точке ${\displaystyle (0,-l)}$ , а другой в верхней точке ${\displaystyle (0,l)}$ . То есть точка ${\displaystyle (0,l)}$ абсолютно неустойчивого равновесия для математического маятника, может оказаться точкой устойчивого равновесия для маятника Капицы.

Фазовый портрет

Интересные фазовые портреты могут быть получены для значений параметров, недоступных для аналитического рассмотрения, например в случае большой амплитуды колебания подвеса ${\displaystyle a\approx l}$ . Если увеличить амплитуду вынуждающих колебаний до половины длины маятника ${\displaystyle a=l/2}$ , то получится картина аналогичная той, которая изображена на рисунке.

При дальнейшем увеличении амплитуды ${\displaystyle a}$ (начиная от значения ${\displaystyle a=l}$ ), всё внутреннее пространство начинает «замазываться» полностью, то есть, если ранее не все внутренние точки координатного пространства были доступны, то теперь система может побывать в любой точке. Очевидно, что дальнейшее увеличение длины ${\displaystyle a}$ принципиально более не изменит картину.

Интересные факты

• Как отмечал П. Л. Капица, маятниковые часы на вибрирующем основании всегда спешат.
• В коридоре института физических проблем стояла работающая модель маятника Капицы, и любой желающий мог воочию убедиться, как при её включении маятник поднимался и оставался в вертикальном положении.
• Метод эффективного потенциала был разработан П. Л. Капицей во время работы над высокочастотным генератором «ниготроном», названным так по месту исследования у себя на даче на Николиной Горе. Для того чтобы не было проблем с «секретностью» при публикации метода, П. Л. Капица придумывает простую физическую модель, к которой был бы применим этот метод. Таким образом, появляются статьи про маятник с вибрирующим подвесом.
• П. Л. Капица предлагал решить задачу в изменённом варианте поступающим к нему в аспирантуру. Требовалось отыскать условие устойчивости акробата на доске, положенной на цилиндр, лежащий на боку. Ожидаемый ответ был, что если акробат начинал быстро переступать ногами, то его положение становилось устойчивым.
• При ходьбе устойчивость тела увеличивается в несколько раз по сравнению с устойчивостью при стоянии. Этот биомеханический феномен до настоящего времени не изучен. Существует гипотеза, которая объясняет устойчивость тела при ходьбе колебательными движениями центра голеностопного сустава. Тело человека представляется с позиции перевёрнутого маятника с центром в области голеностопных суставов, который приобретает устойчивость в вертикальном положении, если его центр совершает колебание вверх-вниз с достаточно высокой частотой (маятник Капицы).

Литература