Хирургия , или перестройка Морса — преобразование гладких многообразий , которому подвергается многообразие уровня гладкой функции при переходе через невырожденную критическую точку ; важнейшая конструкция в дифференциальной топологии .

Важная роль хирургии в топологии многообразий объясняется тем, что они позволяют «деликатно» (не нарушая тех или иных свойств многообразия) уничтожать «лишние» гомотопические группы (обычно используемая с этой целью в теории гомотопий операция «приклеивания клетки» мгновенно выводит из класса многообразий). Практически все теоремы классификации структур на многообразиях основываются на изучении вопроса, когда для отображения ${\displaystyle f:M\to X}$ замкнутого многообразия ${\displaystyle M}$ в клеточное пространство ${\displaystyle X}$ существуют такой бордизм ${\displaystyle (W;M,N)}$ и такое отображение ${\displaystyle F:W\to X}$ , что ${\displaystyle F|_{M}=f}$ , а ${\displaystyle F|_{N}:\to X}$ является гомотопической эквивалентностью . Естественный путь решения этой задачи состоит в том, чтобы последовательностью хирургий уничтожить ядра гомоморфизмов ${\displaystyle f^{*}:\pi _{k}(M)\to \pi _{k}(X)}$ (где ${\displaystyle \pi _{k}}$ — гомотопические группы ). Если это удаётся, то результирующее отображение будет гомотопической эквивалентностью. Изучение соответствующих препятствий (лежащих в т. н.) явилось одним из главнейших стимулов в развитии алгебраической .

Конструкция

Пусть ${\displaystyle V}$ — гладкое ${\displaystyle n}$ -мерное многообразие (без края), в которое (гладко) вложена ${\displaystyle (k-1)}$ -мерная сфера ${\displaystyle S^{k-1}}$ . Предположим, что нормальное расслоение сферы ${\displaystyle S^{k-1}}$ в многообразии ${\displaystyle V}$ тривиально, то есть что замкнутая трубчатая окрестность ${\displaystyle T}$ сферы ${\displaystyle S^{k-1}}$ в ${\displaystyle V}$ разлагается в прямое произведение ${\displaystyle T=S^{k-1}\times D^{n-k+1}}$ , где ${\displaystyle D^{n-k+1}}$ — диск размерности ${\displaystyle n-k+1}$ . Выбрав такое разложение, вырежем из ${\displaystyle V}$ внутренность окрестности ${\displaystyle T}$ . Получится многообразие, край которого разложен в произведение ${\displaystyle S^{k-1}\times S^{n-k}}$ сфер. Точно такой же край имеет многообразие ${\displaystyle D^{k}\times S^{n-k}}$ . Отождествив края этих многообразий по диффеоморфизму , сохраняющему структуру прямого произведения снова получим многообразие ${\displaystyle V'}$ без края, которое и называется результатом хирургии многообразия ${\displaystyle V}$ вдоль сферы ${\displaystyle S^{k-1}}$ .

Для осуществления хирургии необходимо задать разложение окрестности ${\displaystyle T}$ сферы ${\displaystyle S^{k-1}}$ в прямое произведение, то есть тривиализацию нормального расслоения сферы ${\displaystyle S^{k-1}}$ в многообразии ${\displaystyle V}$ , при этом разные тривиализации (оснащения) могут давать существенно различные (даже гомотопически) многообразия ${\displaystyle V'}$ .

Число ${\displaystyle k}$ называется индексом хирургии, а пара ${\displaystyle (k,n-k+1)}$ её типом. Если ${\displaystyle V'}$ получается из ${\displaystyle V}$ хирургией типа ${\displaystyle (i,j)}$ , то ${\displaystyle V}$ получается из ${\displaystyle V'}$ хирургией типа ${\displaystyle (j,i)}$ . При ${\displaystyle k=0}$ многообразие ${\displaystyle V'}$ является дизъюнктным объединением многообразия ${\displaystyle V}$ (которое может быть в этом случае пустым) и сферы ${\displaystyle S^{n}}$ .

Примеры

• При ${\displaystyle V=S^{2}}$ и ${\displaystyle k=2}$ в результате хирургии получается дизъюнктное объединение двух сфер, а при ${\displaystyle k=1}$ — тор .
• При ${\displaystyle V=S^{3}}$ и ${\displaystyle k=2}$ получается произведение ${\displaystyle S^{1}\times S^{2}}$ .
• Случай ${\displaystyle V=S^{3}}$ и ${\displaystyle k=1}$ сложнее: если сфера ${\displaystyle S^{1}}$ вложена в ${\displaystyle S^{3}}$ стандартным образом (большая окружность), то в зависимости от выбора её тривиализации нормального расслоения получаются линзовые пространства ; если же допустить заузливание сферы ${\displaystyle S^{1}}$ , то получается ещё больший набор трёхмерных многообразий.

Свойства

• Если ${\displaystyle V}$ является краем ${\displaystyle (n+1)}$ -мерного многообразия ${\displaystyle M}$ , то ${\displaystyle V'}$ будет краем многообразия ${\displaystyle M'}$ , полученного из ${\displaystyle M}$ приклеиванием ручки индекса ${\displaystyle k}$ .
  • В частности, если ${\displaystyle f}$ — гладкая функция на многообразии ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle a<b}$ — такие числа, что множество ${\displaystyle f^{-1}([a,b])}$ компактно и содержит единственную критическую точку ${\displaystyle p}$ , которая невырождена, то многообразие ${\displaystyle V_{b}=f^{-1}(b)}$ получается из многообразия ${\displaystyle V_{a}=f^{-1}(a)}$ хирургией индекса ${\displaystyle k}$ , где ${\displaystyle k}$ — критической точки ${\displaystyle p}$ .
  • Более общим образом, любая перестройка ${\displaystyle V'}$ многообразия ${\displaystyle V}$ индекса ${\displaystyle k}$ определяет некоторый бордизм ${\displaystyle (W;V,V')}$ , и на триаде ${\displaystyle (W;V,V')}$ существует
• функция Морса , обладающая единственной критической точкой индекса ${\displaystyle k}$ , причем любой бордизм ${\displaystyle (W;V,V')}$ , на котором существует такого рода функция Морса, получается этим способом.
  • Отсюда (и из существования на триадах функций Морса) следует, что два многообразия тогда и только тогда бордантны, когда одно из них получается из другого конечной последовательностью хирургий.
• При известных предосторожностях в обращении с ориентациями результат хирургии ориентированного многообразия будет снова ориентированным многообразием.

Вариации и обобщения

• Конструкция хирургии может быть проведена также для кусочно-линейных и топологических многообразий.