Функции Чебышёва — теоретико-числовые функции ${\displaystyle \theta (x)}$ и ${\displaystyle \psi (x)}$ , связанные с распределением простых чисел и определённые как

${\displaystyle \theta (x)=\sum \limits _{p\leqslant x}\ln p}$

и

${\displaystyle \psi (x)=\sum \limits _{m\in \mathbb {N} }\sum \limits _{p^{m}\leqslant x}\ln p,}$

где ${\displaystyle p}$ — простые числа, ${\displaystyle m}$ — натуральные числа.

Введены русским математиком Пафнутием Чебышёвым .

Свойства

• Определение пси-функции Чебышёва может быть записано через функцию Мангольдта : ${\displaystyle \psi (x)=\sum \limits _{n\leqslant x}\Lambda (n)}$ .
• Функции Чебышёва связаны соотношением ${\displaystyle \psi (x)=\theta (x)+\theta ({\sqrt {x}})+\theta ({\sqrt[{3}]{x}})+\dots =\sum _{n=1}^{\infty }\theta ({\sqrt[{n}]{x}})}$ (где только первые несколько слагаемых не равны нулю), откуда следует асимптотическое соотношение ${\displaystyle \psi (x)=\theta (x)+O({\sqrt {x}})}$ .
• Потенцирование даёт: ${\displaystyle e^{\psi (x)}=\operatorname {lcm} (1,2,...,[x])}$ , ${\displaystyle e^{\theta (x)}=\prod \limits _{p\leqslant x}p}$ .

Связь с распределением простых чисел

• Функции Чебышёва связаны с функцией распределения простых чисел : ${\displaystyle \psi (x)\sim \theta (x)\sim \pi (x)\ln x}$ .
• Для пси-функции Чебышёва существуют явные формулы, получаемые анализом дзета-функции Римана :

${\displaystyle \psi (x)=x-\sum \limits _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho }}-\ln 2\pi -{\frac {1}{2}}\ln(1-x^{-2}),}$

где ${\displaystyle \rho }$ пробегает все нетривиальные нули дзета-функции.

• Теорема Валле — Пуссена о распределении простых в терминах пси-функции формулируется так:

${\displaystyle \psi (x)=x+O(e^{-c{\sqrt {\ln x}}})}$

А гипотеза Римана эквивалентна утверждению

${\displaystyle \psi (x)=x+O({\sqrt {x}}\ln ^{2}x)}$

См. также

• Постулат Бертрана

Комментарии

Примечания

Литература

• Прахар, К. Распределение простых чисел = Primzahl Verteilung / пер. с нем. А. А. Карацупы. — М. : Мир, 1967. — 511 с.