Interested Article - Инъекция (математика)

Инъе́кция ( инъекти́вное отображе́ние ) в математике — отображение $f$ $f$ множества $X$ $X$ во множество $Y$ $Y$ ( $f\colon X\to Y$ $f\colon X\to Y$ ), при котором разные элементы множества $X$ $X$ переводятся в разные элементы множества $Y$ $Y$ , то есть если два образа при отображении совпадают, то и прообразы совпадают: $f(x_{1})=f(x_{2})\Rightarrow x_{1}=x_{2}$ $f(x_{1})=f(x_{2})\Rightarrow x_{1}=x_{2}$ .

Инъекцию также называют вложением , или одно-однозначным отображением (в отличие от биекции , которая взаимно однозначна ). В отличие от сюръекции , про которую говорят, что она отображает одно множество на другое, об инъекции $f\colon X\to Y$ $f\colon X\to Y$ аналогичная фраза формулируется как отображение $X$ $X$ в $Y$ $Y$ .

Инъекцию можно также определить как отображение, для которого существует левое обратное , то есть $f\colon X\to Y$ $f\colon X\to Y$ инъективно, если существует $g\colon Y\to X$ $g\colon Y\to X$ , при котором композиция $g\circ f=\operatorname {id} _{X}$ $g\circ f=\operatorname{id}_X$ .

Понятие инъекции (наряду с сюръекцией и биекцией ) введено в трудах Бурбаки и получило широкое распространение почти во всех разделах математики.

Примеры

$f\colon \mathbb {R} _{>0}\to \mathbb {R} ,\;f(x)=\ln x$ $f\colon \mathbb {R} _{>0}\to \mathbb {R} ,\;f(x)=\ln x$ ( натуральный логарифм ) — инъективно и сюръективно (здесь $\mathbb {R} _{>0}$ $\mathbb {R} _{>0}$ — множество положительных чисел ).
$f\colon \mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} ,\;f(x)=x^{2}$ $f\colon \mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} ,\;f(x)=x^{2}$ — инъективно (здесь $\mathbb {R} _{+}$ $\R_+$ — множество неотрицательных чисел ).
$f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} _{+},\;f(x)=x^{2}$ $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} _{+},\;f(x)=x^{2}$ — не является инъективным, так как $f(-2)=f(2)=4$ $f(-2)=f(2)=4$ .

Применение

Одним из прикладных примеров применения понятия инъекции является организация связи «один к одному» между сущностями в реляционной модели данных .
Идеальная хеш-функция является инъективной.

Обобщения

Обобщением понятия инъекции в теории категорий является понятие мономорфизма . Во многих категориях, хотя и не во всех, эти понятия эквивалентны.

Литература

Н. К. Верещагин , А. Шень . Начала теории множеств // . (недоступная ссылка)
Ершов Ю. Л., Палютин Е. А. Математическая логика: Учебное пособие. — 3-е, стереотип. изд. — СПб. : Лань, 2004. — 336 с.