Радианная мера
— угловая
мера
, в которой за единицу принимается угол в 1 радиан. То есть, радианная мера любого угла — это отношение этого угла к радиану
. Из определения следует, что величина
полного угла
равна 2
π
радиан (см. рис. справа).
Определить радианную меру можно и так:
радианная мера угла
— отношение длины дуги окружности, находящейся между сторонами угла, к радиусу этой окружности, когда центр окружности совпадает с вершиной
угла
. В геометрии для определения радианной меры угла используют
единичную окружность
с центром в вершине угла; тогда радианная мера угла равна длине дуги единичной окружности между сторонами угла
.
Поскольку длина дуги окружности пропорциональна её угловой мере и радиусу, длина
дуги окружности
радиуса
R
и угловой величины
α , измеренной в радианах, равна
α ∙
R
.
Так как величина угла, выраженная в радианах, равна отношению длины дуги окружности (
м
) к длине её радиуса (
м
), угол в радианном измерении — величина
безразмерная
.
Радиан в Международной системе единиц (СИ)
В качестве единицы измерения плоских углов в
Международной системе единиц (СИ)
радиан был принят XI
Генеральной конференцией по мерам и весам
в
1960 году
одновременно с принятием системы СИ в целом
. В настоящее время в системе СИ радиан квалифицируется как когерентная
безразмерная производная единица СИ, имеющая специальные наименование и обозначение. Русское обозначение —
рад
, международное —
rad
.
Безразмерность плоского угла означает, что единицей его измерения является
число
один
. Однако, применительно к плоскому углу единице «один» было присвоено специальное наименование «радиан» для того, чтобы в каждом конкретном случае облегчить понимание того, какая именно величина имеется в виду
.
Кратные и дольные единицы
Десятичные кратные и дольные единицы радиана образуются с помощью стандартных
приставок СИ
, однако используются редко. Так, в миллирадианах, микрорадианах и нанорадианах измеряется угловое разрешение в астрономии. В кратных единицах (килорадианах и т. д.) измеряется набег
угловой фазы
. Сокращённое обозначение (рад, rad) основной и производных единиц не следует путать с устаревшей единицей измерения поглощённой дозы ионизирующего излучения —
рад
.
Кратные
Дольные
величина
название
обозначение
величина
название
обозначение
10
1
рад
декарадиан
дарад
darad
10
−1
рад
децирадиан
драд
drad
10
2
рад
гекторадиан
град
hrad
10
−2
рад
сантирадиан
срад
crad
10
3
рад
килорадиан
крад
krad
10
−3
рад
миллирадиан
мрад
mrad
10
6
рад
мегарадиан
Мрад
Mrad
10
−6
рад
микрорадиан
мкрад
µrad
10
9
рад
гигарадиан
Град
Grad
10
−9
рад
нанорадиан
нрад
nrad
10
12
рад
терарадиан
Трад
Trad
10
−12
рад
пикорадиан
прад
prad
10
15
рад
петарадиан
Прад
Prad
10
−15
рад
фемторадиан
фрад
frad
10
18
рад
эксарадиан
Эрад
Erad
10
−18
рад
атторадиан
арад
arad
10
21
рад
зеттарадиан
Зрад
Zrad
10
−21
рад
зепторадиан
зрад
zrad
10
24
рад
йоттарадиан
Ирад
Yrad
10
−24
рад
иокторадиан
ирад
yrad
10
27
рад
роннарадиан
Rrad
10
−27
рад
ронторадиан
rrad
10
30
рад
кветтарадиан
Qrad
10
−30
рад
квекторадиан
qrad
рекомендовано
к применению применять не рекомендуется не применяются или редко применяются на практике
Связь радиана с другими единицами
Пропорциональное соотношение радиана с другими единицами измерения углов описывается формулой:
a [°] =
α
[рад] × (360° / (
2π)) или
α
[рад] × (180° /
π),
α
[рад] =
a [°] : (180° /
π) =
a [°] × (
π / 180°),
где
α
[рад] — угол в радианах,
a [°] — угол в градусах.
1 рад (или
) =
(мнемоническое правило запоминания в градусах-минутах-секундах: "Число радиана и порядок шутя пишу наизусть", где число букв в каждом слове равно соответствующей цифре в записи значения радиана, до десятой доли угловой секунды)
(или 1 рад в минутах) =
(или 1 рад в секундах) =
В метрической системе угловых мер прямой угол делится на 100
градов
и каждый град на 100 сантиградов, который, в свою очередь, делится на сотые доли сантиграда, так что
(или
1 рад
в сотых долях «сантиграда») =
Употреблять его практически не приходится, так как метрическая система угловых мер пока не получила широкого распространения.
Чтобы легче запомнить, как переводят радианы в градусы и обратно, заметим:
Переводя радианы в градусы (или в минуты, или в секунды), мы из отвлеченного числа (
) делаем именованное (
) и поэтому должны
множить
на
или
;
Переводя градусы в радианы, мы, наоборот, уничтожаем наименование: получаем отвлечённое число; значит, здесь надо
делить
на
или
либо же умножать на перевёрнутую дробь
Пример 1. Перевести в радианы
Альтернативный способ предусматривает перевод минут и секунд в десятичные (сотые и десятитысячные) доли градуса,
и однократного деления на
(как правило, этот способ более точен)
При малых углах
синус
и
тангенс
угла, выраженного в радианах, приблизительно равны самому углу (в радианах), что удобно при приближённых вычислениях. При углах менее
, приближение можно считать верным до третьего знака после запятой. Если угол меньше
, — то до шестого знака после запятой
:
История
Первое использование радиана вместо
углового градуса
обычно приписывают
Роджеру Котсу
(XVIII век), который считал эту единицу измерения угла наиболее естественной
. Однако идея измерять длину дуги радиусом окружности использовалась и другими математиками. Например,
Аль-Каши
использовал единицу измерения, названную им «
часть диаметра
», которая равнялась 1/60 радиана. Также им использовались и более мелкие производные единицы
.
Производная единица измерения называется
когерентной
, если она выражается в виде произведения степеней основных единиц измерения с коэффициентом пропорциональности, равным
единице
.
(неопр.)
Дата обращения: 18 сентября 2012.
Архивировано из 10 ноября 2012 года.
(англ.) .
SI Brochure: The International System of Units (SI)
.
Международное бюро мер и весов
(2006).
Дата обращения: 19 декабря 2014.
7 октября 2014 года.
↑ Лишние цифры [после четвёртого знака после запятой] в выражениях минут и секунд зачастую отбрасываются ввиду того, что следующая цифра в выражении градусов неизвестна, и, следовательно, писать цифры дальше четвёртой [обозначены нижним индексом] — напрасный труд.
, p. 74, 4.3.46.
(точность нарушается в четвертом знаке после запятой)
(точность не выдерживается в седьмом знаке после запятой)
Именно поэтому промежутки шкал(ы) на
счётной линейке
имеют пределы
и
; ниже этого значения (до 0) разграфки нет, так как углы (в радианах) совпадают со значениями синусов/тангенсов в пределах точности линейки (
Панов Д. Ю.
Счётная линейка. — 25-е изд. —
М.
: изд-во Наука (Гл. ред. физ.-мат. литературы), 1982. — 176 с.)
O'Connor, J. J.; Robertson, E. F.
(неопр.)
.
The MacTutor History of Mathematics
(февраль 2005).
Дата обращения: 3 февраля 2014.
24 сентября 2012 года.
Luckey, Paul.
Der Lehrbrief über den kreisumfang von Gamshid b. Mas'ud al-Kasi
(нем.)
/ Siggel, A.. — Berlin:
Akademie Verlag
, 1953. — S. 40.