Функциона́л — функция , заданная на произвольном множестве и имеющая числовую область значений : обычно множество вещественных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$ или комплексных чисел ${\displaystyle \mathbb {C} }$ . В более широком смысле функционалом называется любое отображение из произвольного множества в произвольное (не обязательно числовое) кольцо .

Функционалы изучаются как одно из центральных понятий в функциональном анализе , а основным предметом вариационного исчисления является изучение вариаций функционалов.

Определения

Область определения функционала может быть любым множеством. Если область определения является топологическим пространством , можно определить непрерывный функционал ; если область определения является линейным пространством над ${\displaystyle \mathbb {R} }$ или над ${\displaystyle \mathbb {C} }$ , можно определить линейный функционал ; если область определения является упорядоченным множеством , можно определить монотонный функционал.

Функционал, заданный на топологическом пространстве ${\displaystyle X}$ , называется непрерывным, если он непрерывен как отображение в топологическое пространство ${\displaystyle \mathbb {R} }$ или ${\displaystyle \mathbb {C} }$ .

Функционал, заданный на топологическом пространстве ${\displaystyle X}$ , называется непрерывным в точке ${\displaystyle x\in X}$ , если он непрерывен в этой точке как отображение в топологическое пространство ${\displaystyle \mathbb {R} }$ или ${\displaystyle \mathbb {C} }$ .

Функционал, заданный на линейном пространстве, и сохраняющий сложение и умножение на константу, называется линейным функционалом . (Отображение линейного пространства в линейное пространство называют оператором ).

Один из простейших функционалов — проекция (сопоставление вектору одной из его компонент или координат).

Довольно часто в роли линейного пространства выступает то или иное пространство функций (непрерывные функции на отрезке, интегрируемые функции на плоскости и т. д.). Поэтому в прикладных областях под функционалом часто понимают функцию от функций , отображение, переводящее функцию в число (действительное или комплексное).

Функционал на линейном пространстве называется положительно определённым, если его значение неотрицательно и равно нулю только в нуле.

Отображение, переводящее вектор в его норму , является выпуклым положительно определённым функционалом, это один из самых распространённых функционалов. В физике часто используется действие — тоже функционал.

Задачи оптимизации формулируются на языке функционалов : найти решение (уравнения, системы уравнений, системы ограничений, системы неравенств, системы включений и тому подобного), доставляющее экстремум (минимум или максимум) заданному функционалу. Функционалы также рассматриваются в вариационном анализе .

Функционал в линейном пространстве

Позднее от понятия традиционного функционала отделилось понятие функционала в линейном пространстве , как функции, отображающей элементы линейного пространства в его пространство скаляров . Зачастую (например, когда пространство функций является линейным пространством) эти две разновидности понятия «функционал» совпадают, в то же время они не тождественны и не поглощают друг друга.

Особенно важной разновидностью функционалов являются линейные функционалы .

Примеры

• норма функции
• значение функции в фиксированной точке
• максимум или минимум функции на отрезке
• величина интеграла от функции
• длина графика вещественной функции вещественной переменной
• длина кривой, параметрически заданной векторной функцией вещественного аргумента (длина пути)
• площадь поверхности, параметрически заданной векторной функцией двух вещественных аргументов
• скалярное произведение на фиксированный вектор
• действие в механике

Литература

• В. И. Соболев . Функционал // Математическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. И. М. Виноградов . — М. : Советская энциклопедия, 1985. — Т. 5: Слу — Я. — 1248 стб. : ил. — 150 000 экз.
• Колмогоров А. Н. , Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвертое, переработанное. — М. : Наука , 1976 . — 544 с. — 35 000 экз.
• Рудин У. Функциональный анализ. — М. : Мир , 1975. — 443 с.